Nos itens abaixo, encontre o fluxo do campo F dado através do hemisfério superior da esfera x^2+y^2+z^2=a^2, z >= 0. Oriente a superfície para fora.
F=y i-x j;

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo F=y,i-x,j através do hemisfério superior da esfera x^2+y^2+z^2=a^2, com z>=0, orientado para fora. Para resolver, precisamos parametrizar a superfície ou usar a normal unitária da esfera e calcular
integral duplaSFcdotn,dS

Passo 2

Num ponto genérico da esfera temos r=(x,y,z) com x^2+y^2+z^2=a^2. A normal unitária voltada para fora é
n=ra=l(xa,ya,zar),
e o elemento de área é dS=a^2sinphi,dphi,dtheta se quisermos usar coordenadas esféricas. Mas de forma mais direta, o vetor n,dS vale
n,dS=(x,y,z)a,dS=(x,y,z),dSa

Passo 3

O produto escalar é
Fcdotn,dS = (y,-x,0)cdot(x,y,z),dSa = yx - x y + 0a,dS = 0cdot dS =0
Como o integrando é zero em todo ponto do hemisfério, o fluxo é
integral duplaSFcdotn,dS = 0

Resposta

O fluxo de F através do hemisfério superior é 0.

Exercícios relacionados