Verifique se a aplicação T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} definida por:
T(x, y, z)=(z, x+y)
é linear. Em seguida encontre T((-1,0,5)) e T((3,4,2).

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear candidate
T\colon \mathbb{R}^{3}\to \mathbb{R}^{2},\quad T(x,y,z) = (\,z,\;x+y\,)
e pede para (a) verificar se T é linear, isto é, mostrar aditividade e homogeneidade, e em seguida (b) calcular T(-1,0,5) e T(3,4,2).

Passo 2

Verificação da aditividade. Seja
u=(x_{1},y_{1},z_{1}),\quad v=(x_{2},y_{2},z_{2})\in \mathbb{R}^3.
Então
u+v = (x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2},\,z_{1}+z_{2})
e
T(u+v) = \bigl(z_{1}+z_{2},\;(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})\bigr) = (z_{1},x_{1}+y_{1}) + (z_{2},x_{2}+y_{2}) = T(u) + T(v).
Logo, T satisfaz a aditividade.

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja c\in \mathbb{R} e u=(x,y,z). Então
cu = (c\,x,\,c\,y,\,c\,z)
e
T(c\,u) = \bigl(c\,z,\;c\,x + c\,y\bigr) = c\,(z,\;x+y) = c\,T(u).
Portanto, T satisfaz a homogeneidade e, por isso, é linear.

Passo 4

Cálculo das imagens dos vetores dados.
Para (-1,0,5):
T(-1,0,5) = \bigl(5,\;(-1)+0\bigr) = (5,-1).
Para (3,4,2):
T(3,4,2) = \bigl(2,\;3+4\bigr) = (2,7).

Resposta

Sim, T é linear. T(-1,0,5) = (5,-1) T(3,4,2) = (2,7)

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