Nos itens abaixo, determine se o conjunto B é uma base para o espaço vetorial V.
V=P2, B=1-x, 1-x^2, x-x^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
B = ,1 - x,;1 - x^2,;x - x^2
é base de V = P2, o espaço de todos os polinômios de grau <=2. Como dim(P2)=3 e B tem 3 elementos, basta checar independência linear (ou, equivalentemente, que gerem todo P2).

Passo 2

Escrevemos cada polinômio de B na base canônica 1,x,x^2. Assim:
1 - x long<=ftrightarrow (1,,-1,,0), 1 - x^2 long<=ftrightarrow (1,,0,,-1), x - x^2 long<=ftrightarrow (0,,1,,-1)

Passo 3

Testamos uma combinação linear alpha(1 - x) + beta(1 - x^2) + gamma(x - x^2) = 0. Isso gera o sistema de coeficientes:
alpha + beta = 0, -,alpha + gamma = 0, -,beta - gamma = 0

Passo 4

Do segundo e do primeiro equações tiramos gamma = alpha e beta = -alpha. Substituindo na terceira:
-(-alpha) - alpha = alpha - alpha = 0,
que é verdade para qualquer alpha. Portanto existe solução não trivial (alpha,beta,gamma) = (alpha,,-alpha,alpha) com alphaneq0, e os vetores de B são linearmente dependentes.

Resposta

B não é base de P2, pois seus três vetores são linearmente dependentes.

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