Nos itens abaixo, determine se o conjunto B é uma base para o espaço vetorial V.
V=M22, B=[ll1 & 0 0 & 1],[cc0 & -1 1 & 0],[ll1 & 1 1 & 1],[cc1 & 1 1 & -1]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
B=lA1,A2,A3,A4r subset V=M2times2(R),
com
A1=1&00&1,; A2=0&-11&0,; A3=1&11&1,; A4=1&11&-1,
é uma base de V. Sabendo que dim V=4, basta mostrar que os quatro elementos são linearmente independentes.

Passo 2

Considere a combinação linear nula
c1A1+c2A2+c3A3+c4A4=0&00&0
Escrevendo entrada a entrada obtemos o sistema
c1+c3+c4=0, -c2+c3+c4=0, c2+c3+c4=0, c1+c3-c4=0

Passo 3

Some as segunda e terceira equações:
(-c2+c3+c4)+(c2+c3+c4)=0 ;Longrightarrow; 2c3+2c4=0 ;Longrightarrow; c3+c4=0 ;Longrightarrow; c4=-c3
Substituindo em -c2+c3+c4=0 -c2=0, logo c2=0.
Em c1+c3+c4=0 fica c1=0.
Por fim, em c1+c3-c4=0 temos 2c3=0, logo c3=0 e então c4=0.
Assim a única solução é c1=c2=c3=c4=0, provando independência linear.

Passo 4

Como B tem 4 vetores em um espaço de dimensão 4 e são linearmente independentes, conclui-se que B gera V e, portanto, é uma base de M2times2(R).

Resposta

O conjunto B é uma base de V=M2times2(R).

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