Nos itens abaixo, determine se o conjunto B é uma base para o espaço vetorial V.
V=M22, B=[ll1 & 0 0 & 1],[ll0 & 1 1 & 0],[ll1 & 1 0 & 1],[ll1 & 0 1 & 1]

Passo 1

O enunciado pede para decidir se
V = M2times2(K)
tem dimensão 4 e se o conjunto
B = B1,B2,B3,B4
com
B1 = 1&00&1, B2 = 0&11&0, B3 = 1&10&1, B4 = 1&01&1
é uma base. Para isso basta checar se B é linearmente independente (já que lvert Brvert=4=dim V).

Passo 2

Suponha que exista combinação linear não trivial
x1B1 + x2B2 + x3B3 + x4B4 = 02times2
Vamos escrever essa soma em termos das entradas.

Passo 3

Calculemos a soma termo a termo:
x1 B1 + x2 B2 + x3 B3 + x4 B4 = x1 + x3 + x4 & x2 + x3 [6pt] x2 + x4 & x1 + x3 + x4
Para que seja a matriz nula, suas quatro entradas devem ser zero.]

Passo 4

Isto gera o sistema
x1 + x3 + x4 = 0, x2 + x3 = 0, x2 + x4 = 0,
onde a segunda e a terceira equações dão
x3 = -,x2, x4 = -,x2
Substituindo na primeira:
x1 + (-x2) + (-x2)=0 ;Longrightarrow; x1 = 2,x2

Passo 5

O sistema admite a família de soluções não trivial
(x1,x2,x3,x4) = (2t,,t,,-t,,-t), tinK,
portanto há combinação linear não trivial que anula esses vetores. Logo B é linearmente dependente.

Resposta

B não é base de M2times2, pois os seus vetores são linearmente dependentes.

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