Nos itens abaixo, determine se o conjunto B é uma base para o espaço vetorial V.
V=P2, B=1,2-x, 3-x^2, x+2 x^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
B = ,1,;2 - x,;3 - x^2,;x + 2x^2
é uma base do espaço vetorial V = P2 (polinômios de grau <=2).
Para isso precisamos lembrar que uma base é um conjunto de vetores que gera o espaço e é linearmente independente. Também sabemos que
dim(P2)=3.

Passo 2

Note que B tem 4 vetores, mas dim(P2)=3. Em qualquer espaço de dimensão n, todo conjunto com mais de n vetores é automaticamente linearmente dependente. Logo, B não pode ser uma base, pois falha na condição de independência linear.

Passo 3

Podemos ainda exhibir explicitamente a dependência linear. Suponha que existam escalares
Igualando coeficientes de , e , obtemos o sistema
Da segunda equação vem . Substituindo na primeira,
Escolhendo por exemplo (não-trivial), segue
mostrando a dependência linear.

Resposta

B não é uma base de P2.

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