Teste se os conjuntos de funções abaixo são linearmente independentes em
. Para os que forem linearmente dependentes, expresse uma das funções como combinação linear das demais.
Passo 1
O enunciado pede para testar se o conjunto de funções
é linearmente independente em
(espaço das funções reais de variável real). Para isso vamos usar a definição: as funções
são linearmente independentes se, sempre que existirem escalares
tais que
isso implica
.
Passo 2
Suponha que existam
tais que
para todo
. Essa é uma igualdade de funções, ou seja, vale identicamente em
.
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
para todo
. À medida que
assume infinitos valores distintos quando
varia, a única forma dessa soma ser sempre zero é ter
Passo 4
Como a única solução do sistema
é a trivial, concluímos que não há relação de dependência linear entre
e
.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente em
.