Teste se os conjuntos de funções abaixo são linearmente independentes em Im. Para os que forem linearmente dependentes, expresse uma das funções como combinação linear das demais.
e^x, e^-x

Passo 1

O enunciado pede para testar se o conjunto de funções e^x,e^-x é linearmente independente em Im (espaço das funções reais de variável real). Para isso vamos usar a definição: as funções f1,f2 são linearmente independentes se, sempre que existirem escalares c1,c2 tais que
c1f1(x)+c2f2(x)=0para todo x,
isso implica c1=c2=0.

Passo 2

Suponha que existam c1,c2inR tais que
c1e^x+c2e^-x=0
para todo xinR. Essa é uma igualdade de funções, ou seja, vale identicamente em x.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por e^x, obtemos
c1e^2x+c2=0
para todo x. À medida que e^2x assume infinitos valores distintos quando x varia, a única forma dessa soma ser sempre zero é ter
c1=0 e c2=0

Passo 4

Como a única solução do sistema c1,c2 é a trivial, concluímos que não há relação de dependência linear entre e^x e e^-x.

Resposta

O conjunto e^x,e^-x é linearmente independente em Im.

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