Teste se os conjuntos de polinômios abaixo são linearmente independentes. Para os que forem linearmente dependentes, expresse um dos polinômios como combinação linear dos demais. em .
Passo 1
O enunciado pede para testar se o conjunto
é linearmente independente em , o espaço dos polinômios de grau .
Para isso, vamos montar uma combinação linear genérica dessas quatro funções igual a zero e ver se a única solução é trivial (todos os coeficientes nulos).
Passo 2
Considere
para todo . Expandindo e coletando coeficientes em cada potência de , obtemos o sistema
Passo 3
Resolvendo o sistema:
Da última equação c + d = 0 vem c = -d.
Substituindo em c + 2d = 0 dá -d + 2d = 0implies d = 0, logo c=0.
Com d=0, de -b - d=0 temos b=0.
Finalmente, de 2a + b=0 obtemos a=0.
Passo 4
A única solução do sistema é a=b=c=d=0, ou seja, só existe a combinação trivial que anula a soma. Logo o conjunto é linearmente independente.