Teste se os conjuntos de polinômios abaixo são linearmente independentes. Para os que forem linearmente dependentes, expresse um dos polinômios como combinação linear dos demais.
2 x, x-x^2, 1+x^3, 2-x^2+x^3 em P3.

Passo 1

O enunciado pede para testar se o conjunto
2x,;x - x^2,;1 + x^3,;2 - x^2 + x^3
é linearmente independente em P3, o espaço dos polinômios de grau <=3.
Para isso, vamos montar uma combinação linear genérica dessas quatro funções igual a zero e ver se a única solução é trivial (todos os coeficientes nulos).

Passo 2

Considere
a,(2x) + b,(x - x^2) + c,(1 + x^3) + d,(2 - x^2 + x^3) ;=;0
para todo x. Expandindo e coletando coeficientes em cada potência de x, obtemos o sistema
constante: & c + 2d = 0, x^1: &2a + b = 0, x^2: & -b - d = 0, x^3: & c + d = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema:
  • Da última equação c + d = 0 vem c = -d.
  • Substituindo em c + 2d = 0 -d + 2d = 0implies d = 0, logo c=0.
  • Com d=0, de -b - d=0 temos b=0.
  • Finalmente, de 2a + b=0 obtemos a=0.

Passo 4

A única solução do sistema é a=b=c=d=0, ou seja, só existe a combinação trivial que anula a soma. Logo o conjunto é linearmente independente.

Resposta

O conjunto é linearmente independente.

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