Nos itens abaixo encontre a dimensão do espaço vetorial V e dê uma base para V
V=p(x) em P2: p(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a dimensão e uma base do subespaço Vsubset P2 formado pelos polinômios que satisfazem p(0)=0. O conteúdo aqui é subespaço vetorial: vamos escrever um polinômio genérico de grau <=2, impor a condição p(0)=0, identificar os geradores de V e verificar independência linear.

Passo 2

Um polinômio genérico em P2 é
p(x)=ax^2+bx+c
A condição p(0)=0 implica
p(0)=c=0
Logo todo pin V tem a forma
p(x)=ax^2+bx

Passo 3

Da expressão p(x)=ax^2+bx vemos que
V=spanx,;x^2
Os vetores x e x^2 são linearmente independentes, pois nenhuma combinação alpha x + beta x^2=0 (para todo x) vale não trivial a menos que alpha=beta=0.

Passo 4

Como a base x,x^2 tem 2 vetores, concluímos que
dim V = 2

Resposta

dim V=2.
Uma base é x,x^2.

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