Mostre se os conjuntos abaixo formam ou não espaço vetorial. Em caso negativo, indique quais axiomas não são respeitados:
b) matrizes [lla & 0 0 & b], com a, b in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se o conjunto de matrizes do tipo [lla & 0 0 & b], onde a e b são números reais, forma ou não um espaço vetorial. Para isso, vamos usar a teoria de espaços vetoriais, que basicamente são conjuntos que satisfazem certos axiomas (regras) com operações de adição e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um conjunto V é espaço vetorial se, com as operações de adição e multiplicação por escalar, ele satisfaz oito axiomas, como associatividade, existência de elemento neutro, existência de inversos, distributividade, etc. A gente vai checar se essas propriedades são válidas pra esse conjunto de matrizes.

Passo 3

Vamos começar verificando a adição. Se pegarmos duas matrizes desse tipo:
[lla & 0 0 & b] e [llc & 0 0 & d], a soma delas é:
[lla+c & 0+0 0+0 & b+d] = [lla+c & 0 0 & b+d]
Isso também é uma matriz do mesmo tipo, já que a soma dos elementos nas posições (1,2) e (2,1) continua sendo zero.

Passo 4

Agora, vamos ver a multiplicação por escalar. Tomando um escalar k in R e a matriz [lla & 0 0 & b], a multiplicação por k dá:
[llk cdot a & k cdot 0 k cdot 0 & k cdot b] = [llk a & 0 0 & k b]
Também resulta em uma matriz do mesmo tipo.

Passo 5

Vamos checar agora alguns axiomas específicos:
  1. Elemento Neutro da Adição: A matriz zero, [ll0 & 0 0 & 0], está no conjunto, pois a = 0 e b = 0.
  2. Existência de Inversos Aditivos: Para qualquer matriz [lla & 0 0 & b], existe outra matriz [ll-a & 0 0 & -b] que é o inverso aditivo.
  3. Associatividade e Comutatividade da Adição: A soma de matrizes é associativa e comutativa, propriedades herdadas das matrizes em geral.
  4. Distributividade da Multiplicação por Escalar: As leis de distributividade também são satisfeitas, como vimos na multiplicação por escalar.

Passo 6

Já vimos que as operações de adição e multiplicação por escalar mantêm o conjunto dentro do mesmo tipo de matrizes e que todos os axiomas necessários são satisfeitos. Portanto, não encontramos nenhum axioma que seja violado.

Resposta

Sim, o conjunto de matrizes [lla & 0 0 & b], com a, b in R, forma um espaço vetorial.

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