Para os itens abaixo, determine um fator integrante apropriado para transformar a equação em exata.
cos x d x+(1+2y) sen x d y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
cos x,dx + l(1+2yr)sin x,dy = 0
e pede um fator integrante que a torne exata. Aqui usamos a teoria de equações exatas: dada
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
procuramos mu(x) tal que
partialpartial yl[mu Mr] = partialpartial xl[mu Nr]

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = cos x, N(x,y) = l(1+2yr)sin x
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = 0, partial Npartial x = l(1+2yr)cos x
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Para buscar mu que dependa só de x, usamos o teste
partial Mpartial y-partial Npartial xN stackrel?= f(x)
Aqui
0 - (1+2y)cos x(1+2y)sin x = -cos xsin x = -cot x,
que depende apenas de x. Logo existe mu=mu(x).

Passo 4

Calculamos
mu(x) = exp!l(integral -cot x,dxr) = exp!l(-ln|sin x|r) = 1sin x

Resposta

Um fator integrante apropriado é
mu(x) = 1sin x

Exercícios relacionados