Para os itens abaixo, determine um fator integrante apropriado para transformar a equação em exata.
(10-6 y+e^-3 x) d x-2 d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(10 - 6y + e^-3xr),dx ;-;2,dy = 0
e pede um fator integrante que torne essa equação exata. Vamos usar o critério de fator integrante que depende só de x.

Passo 2

Denotando
M(x,y) = 10 - 6y + e^-3x, N(x,y) = -2,
verificamos a exatidão comparando as derivadas parciais:
My = partialpartial y(10 - 6y + e^-3x) = -6, Nx = partialpartial x(-2) = 0
Como My neq Nx, a equação não é exata.

Passo 3

Para buscar um fator integrante mu(x) dependente só de x, usamos a condição
My - NxN
deve depender apenas de x. Aqui
My - NxN = -6 - 0-2 = 3,
que é constante (logo função de x apenas).

Passo 4

O fator integrante mu(x) satisfaz
mu'(x)mu(x) = 3 Longrightarrow mu(x) = exp!l(integral 3,dxr) = e^3x

Resposta

mu(x) = e^3x

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