Para os itens abaixo, determine um fator integrante apropriado para transformar a equação em exata.
(y^2+x y^3) d x+(5 y^2-x y+y^3 sen y) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y) = y^2 + x,y^3, N(x,y) = 5,y^2 - x,y + y^3sin y
O conteúdo é equações diferenciais exatas e fator integrante; vamos testar exatidão e, se necessário, buscar mu(x) ou mu(y).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = 2y + 3x,y^2, partial Npartial x = -y
Como
2y + 3x,y^2 neq -y,
a equação não é exata e precisamos de fator integrante.

Passo 3

Testamos fator integrante mu(y). A condição é que
1Ml(partial Npartial x - partial Mpartial yr)
seja função só de y. Calculamos
partial Npartial x - partial Mpartial y = -y - (2y + 3x,y^2) = -3y - 3x,y^2 = -3y(1 + x,y),
e também
M(x,y) = y^2(1 + x,y)
Logo
1Ml(partial Npartial x - partial Mpartial yr) = -3y(1 + x,y)y^2(1 + x,y) = -3y,
que depende apenas de y. Então existe mu(y).

Passo 4

Para encontrar mu(y) resolvemos
dmudy/mu = -3y
Integrando,
lnmu = -3ln|y| + C Longrightarrow mu(y)=e^C,y^-3
Escolhendo e^C=1, temos
mu(y)=y^-3

Resposta

Um fator integrante apropriado é
mu(y)=1y^3

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