Nos itens abaixo, determine se a série dada é convergente ou divergente, usando o teste de comparação.
sumn=1^+infty cos ^2 n3^n

Passo 1

O problema pede para analisar a série sumn=1^infty cos^2 n3^n, que é uma série numérica de termos positivos, usando o teste de comparação. Vamos precisar do fato de que 0<=cos^2 n<=1 e do comportamento da série geométrica sum 1/3^n.

Passo 2

Observamos que para todo n vale
0<= cos^2 n <= 1
Logo, para os termos da série,
0<= cos^2 n3^n <= 13^n

Passo 3

A série sumn=1^infty 13^n é uma série geométrica de razão r=1/3, com |r|<1, portanto ela converge. Especificamente,
sumn=1^infty 13^n = 1/31-1/3 = 12

Passo 4

Pelo teste de comparação, como 0<= cos^2 n3^n<= 13^n e a série maior sum 1/3^n converge, a série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty cos^2 n3^n é convergente.

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