Nos itens abaixo, determine se a série infinita é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre a sua soma. \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2 n}+\frac{1}{2^{n}}\right)
Passo 1
O enunciado nos dá a série infinita cujos termos são
é convergente ou divergente e, se convergente, encontrar a sua soma.
Passo 2
Vou explicar o conceito que uso para decidir convergência. Uma série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge se a sequência das somas parciais
S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n
tem limite finito quando N\to\infty. Se S_N\to+\infty ou não tem limite finito, dizemos que a série diverge. Aqui trabalho com as somas parciais da série dada.
Passo 3
Para cada N a soma parcial da série é uma soma finita, portanto posso separar em duas somas finitas:
onde H_N=\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n} é a soma parcial da série harmônica. É bem conhecido (e vou lembrar por um argumento curto) que H_N\to\infty quando N\to\infty, ou seja, a série harmônica diverge. Prova por agrupamento (argumento clássico): para k\ge 1,
Cada bloco de termos entre 2^{j-1}+1 e 2^{j} tem pelo menos 2^{j-1} termos, cada um \ge \dfrac{1}{2^{j}}, portanto a soma desse bloco é \ge \dfrac{2^{j-1}}{2^{j}}=\dfrac{1}{2}. Assim
Já vimos que H_N\to\infty quando N\to\infty. Assim o termo \dfrac{1}{2}H_N tende a +\infty, e a adição do termo finito 1-(\tfrac{1}{2})^{N} não evita que S_N\to+\infty. Conclusão: as somas parciais S_N divergem para +\infty, ou seja, a série original diverge (não tem soma finita).
Passo 7
Resumo intuitivo e incentivo: a série era a soma de uma parte que diverge lentamente (\tfrac{1}{2n}, variante da harmônica) e de uma parte que converge rápido (\tfrac{1}{2^{n}}). Mesmo que uma parte convirja, a presença da parte harmônica divergente manda a conta pro infinito. Tá tudo certo — essa é uma situação comum em provas: basta identificar uma parcela divergente para concluir que a série inteira diverge. Força nos estudos, já era um passo importante!
Resposta
Divergente (as somas parciais tendem a +\infty; não existe soma finita)