Nos itens abaixo, determine se a série infinita é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{2 n}+\frac{1}{2^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a série infinita cujos termos são
a_n=\frac{1}{2n}+\frac{1}{2^{n}},\qquad n=1,2,3,\ldots
A tarefa é: determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2n}+\frac{1}{2^{n}}\right)
é convergente ou divergente e, se convergente, encontrar a sua soma.

Passo 2

Vou explicar o conceito que uso para decidir convergência. Uma série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge se a sequência das somas parciais
S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n
tem limite finito quando N\to\infty. Se S_N\to+\infty ou não tem limite finito, dizemos que a série diverge. Aqui trabalho com as somas parciais da série dada.

Passo 3

Para cada N a soma parcial da série é uma soma finita, portanto posso separar em duas somas finitas:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{2n}+\frac{1}{2^{n}}\right) =\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2n}+\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2^{n}}.
Isto é válido porque somas finitas obedecem a linearidade. Vou analisar cada uma das duas somas à direita.

Passo 4

Análise da primeira soma parcial. Note que
\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n},
logo a primeira soma é \dfrac{1}{2} vezes a soma parcial do harmônico:
\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}=\frac{1}{2}H_N,
onde H_N=\sum_{n=1}^{N}\dfrac{1}{n} é a soma parcial da série harmônica. É bem conhecido (e vou lembrar por um argumento curto) que H_N\to\infty quando N\to\infty, ou seja, a série harmônica diverge. Prova por agrupamento (argumento clássico): para k\ge 1,
H_{2^k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^k} \ge 1 + \frac{1}{2} + \underbrace{\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)}_{\ge 4\cdot\frac{1}{8}} + \underbrace{\left(\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{15}\right)}_{\ge 8\cdot\frac{1}{16}}+\cdots.
Cada bloco de termos entre 2^{j-1}+1 e 2^{j} tem pelo menos 2^{j-1} termos, cada um \ge \dfrac{1}{2^{j}}, portanto a soma desse bloco é \ge \dfrac{2^{j-1}}{2^{j}}=\dfrac{1}{2}. Assim
H_{2^k}\ge 1 + \underbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2}}_{k\\ \text{vezes}}=1+\frac{k}{2}.
Como k\to\infty implica 2^k\to\infty, obtemos H_N\to\infty. Portanto
\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}H_N\to\infty\quad\text{quando }N\to\infty.

Passo 5

Análise da segunda soma. A soma parcial da série geométrica de razão r=\dfrac{1}{2} é
\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{2^{n}}=\frac{\tfrac{1}{2}\bigl(1-(\tfrac{1}{2})^{N}\bigr)}{1-\tfrac{1}{2}} =1-(\tfrac{1}{2})^{N}.
Tomando N\to\infty temos (\tfrac{1}{2})^{N}\to 0, logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=1.
Portanto a parte geométrica converge e sua soma é 1.

Passo 6

Juntando as duas partes usando a expressão para S_N:
S_N=\frac{1}{2}H_N+\biggl(1-(\tfrac{1}{2})^{N}\biggr).
Já vimos que H_N\to\infty quando N\to\infty. Assim o termo \dfrac{1}{2}H_N tende a +\infty, e a adição do termo finito 1-(\tfrac{1}{2})^{N} não evita que S_N\to+\infty. Conclusão: as somas parciais S_N divergem para +\infty, ou seja, a série original diverge (não tem soma finita).

Passo 7

Resumo intuitivo e incentivo: a série era a soma de uma parte que diverge lentamente ( \tfrac{1}{2n}, variante da harmônica) e de uma parte que converge rápido ( \tfrac{1}{2^{n}}). Mesmo que uma parte convirja, a presença da parte harmônica divergente manda a conta pro infinito. Tá tudo certo — essa é uma situação comum em provas: basta identificar uma parcela divergente para concluir que a série inteira diverge. Força nos estudos, já era um passo importante!

Resposta

Divergente (as somas parciais tendem a +\infty; não existe soma finita)

Exercícios relacionados