Nos itens abaixo, expresse a dízima periódica decimal como uma fração ordinária, usando a noção de séries numéricas. 1,234234234 \cdots
Passo 1
O enunciado nos dá o número decimal periódico \,1,234234234\ldots,
e pede que o expressemos como uma fração ordinária, usando a noção de séries numéricas. Informações relevantes retiradas do enunciado:
A parte inteira é \,1.
A parte decimal é periódica com o bloco repetido \,234 (bloco de comprimento 3), ou seja a parte decimal é \,0,234234234\ldots.
A tarefa é transformar essa sequência infinita em uma fração comum.
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): escrever o número como soma da parte inteira com a parte decimal periódica e representar a parte decimal como uma série infinita (uma soma de termos que formam uma progressão geométrica). Depois usar a fórmula da soma de uma série geométrica convergente para obter uma fração.
Passo 3
Separe o número em parte inteira e parte decimal:
x = 1,234234234\ldots = 1 + 0,234234234\ldots
Agora foquemos em \,0,234234234\ldots. Cada repetição do bloco \,234 ocupa três casas decimais, logo podemos escrever a parte decimal como soma dos blocos deslocados: