Nos itens abaixo, expresse a dízima periódica decimal como uma fração ordinária, usando a noção de séries numéricas.
1,234234234 \cdots

Passo 1

O enunciado nos dá o número decimal periódico
\,1,234234234\ldots,
e pede que o expressemos como uma fração ordinária, usando a noção de séries numéricas. Informações relevantes retiradas do enunciado:
  • A parte inteira é \,1.
  • A parte decimal é periódica com o bloco repetido \,234 (bloco de comprimento 3), ou seja a parte decimal é \,0,234234234\ldots.
    A tarefa é transformar essa sequência infinita em uma fração comum.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): escrever o número como soma da parte inteira com a parte decimal periódica e representar a parte decimal como uma série infinita (uma soma de termos que formam uma progressão geométrica). Depois usar a fórmula da soma de uma série geométrica convergente para obter uma fração.

Passo 3

Separe o número em parte inteira e parte decimal:
x = 1,234234234\ldots = 1 + 0,234234234\ldots
Agora foquemos em \,0,234234234\ldots. Cada repetição do bloco \,234 ocupa três casas decimais, logo podemos escrever a parte decimal como soma dos blocos deslocados:
0,234234234\ldots = 234\cdot 10^{-3} + 234\cdot 10^{-6} + 234\cdot 10^{-9} + \cdots
Em forma de soma infinita:
0,234234234\ldots = \sum_{k=1}^{\infty} 234\cdot 10^{-3k}.

Passo 4

Lembrete sobre séries geométricas (mini-aula):
  • Uma série geométrica tem a forma \sum_{k=0}^{\infty} a r^{k}, onde a é o primeiro termo e r é a razão.
  • Essa série converge se, e somente se, |r|<1.
  • Quando |r|<1 a soma vale
\sum_{k=0}^{\infty} a r^{k} = \frac{a}{1-r}.
  • Se a soma começa em k=1 (ou seja \sum_{k=1}^{\infty} r^{k}), podemos usar a variante
\sum_{k=1}^{\infty} r^{k} = \frac{r}{1-r},
porque é a soma com a=r e deslocada em relação à forma com k=0.
Aqui r=10^{-3} e realmente |r|<1, então a fórmula pode ser aplicada.

Passo 5

Aplique a fórmula ao nosso caso. Temos
\sum_{k=1}^{\infty} 234\cdot 10^{-3k} = 234\cdot \sum_{k=1}^{\infty} (10^{-3})^{k} = 234\cdot \frac{10^{-3}}{1-10^{-3}}.
Calcule o quociente:
\frac{10^{-3}}{1-10^{-3}}=\frac{\tfrac{1}{1000}}{1-\tfrac{1}{1000}}=\frac{\tfrac{1}{1000}}{\tfrac{999}{1000}}=\frac{1}{999}.
Portanto
0,234234234\ldots = 234\cdot \frac{1}{999}=\frac{234}{999}.

Passo 6

Volte para x. Temos
x = 1 + \frac{234}{999} = \frac{999}{999} + \frac{234}{999} = \frac{1233}{999}.
Simplifique a fração dividindo numerador e denominador pelo máximo divisor comum. Note que 1233 e 999 são ambos divisíveis por 9:
\frac{1233}{999}=\frac{1233\div 9}{999\div 9}=\frac{137}{111}.
Verificação rápida e intuição: \frac{234}{999}=\frac{26}{111}=0,234234\ldots, logo \frac{137}{111}=1+\frac{26}{111}=1,234234\ldots.

Passo 7

Observação prática (fórmula rápida que ajuda em provas): se um número decimal tem parte inteira I e bloco repetido de m dígitos igual a B, então
I, \overline{B} = \frac{I(10^{m}-1)+B}{10^{m}-1}.
No nosso caso I=1, B=234, m=3, o que dá \dfrac{1\cdot(10^{3}-1)+234}{10^{3}-1}=\dfrac{999+234}{999}=\dfrac{1233}{999}=\dfrac{137}{111}.

Resposta

\dfrac{137}{111}

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