Nos itens abaixo, expresse a dízima periódica decimal como uma fração ordinária, usando a noção de séries numéricas.
Passo 1
O enunciado dá a dízima periódica decimal
e pede para expressá‑la como uma fração ordinária, usando a noção de séries numéricas.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- O número decimal repete o bloco
indefinidamente: . - Quero escrever esse número como uma soma infinita (uma série) e usar a soma de uma série geométrica para obter uma fração.
Passo 2
Vamos escrever
como uma soma de parcelas que aparecem no desenvolvimento decimal. Observe os primeiros termos:
e assim por diante. Portanto podemos representar o número como a série
Aqui a ideia é: a cada repetição do bloco
deslocamos duas casas decimais, por isso
no denominador. Na soma, o termo com
é
, com
é
, etc.
Passo 3
Reconhecemos a série do Passo 2 como uma série geométrica. Uma série geométrica infinita tem a forma
onde
é o primeiro termo e
é a razão comum. Essa série converge (tem soma finita) se, e somente se,
, e nesse caso a soma vale
Explicando a fórmula rapidamente: se
, então
; subtraindo
dá
, logo
.
Passo 4
Para usar essa fórmula precisamos colocar a série do Passo 2 na forma
com índice começando em
. Podemos reescrever
Mudando o índice para começar em
(colocando
) obtemos
Aqui o primeiro termo da série geométrica (agora com índice
) é
e a razão é
. Como
, a soma é
Passo 5
Agora calculamos a expressão do Passo 4 passo a passo:
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Então
Passo 6
Simplificamos a fração
. O máximo divisor comum entre
e
é
. Dividindo numerador e denominador por
obtemos
Passo 7
(Verificação rápida, método alternativo muito usado) Seja
. Multiplicando por
(porque o período tem 2 dígitos) dá
. Subtraindo
de
obtemos
, daí
. Isso confirma o resultado obtido via séries.