Nos itens abaixo, expresse a dízima periódica decimal como uma fração ordinária, usando a noção de séries numéricas.
0,272727 \cdots

Passo 1

O enunciado dá a dízima periódica decimal 0,272727\ldots e pede para expressá‑la como uma fração ordinária, usando a noção de séries numéricas.
Informações relevantes que temos:
  • O número decimal repete o bloco 27 indefinidamente: 0,272727\ldots.
  • Quero escrever esse número como uma soma infinita (uma série) e usar a soma de uma série geométrica para obter uma fração.

Passo 2

Vamos escrever 0,272727\ldots como uma soma de parcelas que aparecem no desenvolvimento decimal. Observe os primeiros termos:
0,27 = \dfrac{27}{100}, \qquad 0,0027 = \dfrac{27}{10000}, \qquad 0,000027 = \dfrac{27}{1000000},
e assim por diante. Portanto podemos representar o número como a série
\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{27}{10^{2k}}.
Aqui a ideia é: a cada repetição do bloco 27 deslocamos duas casas decimais, por isso 10^{2k} no denominador. Na soma, o termo com k=1 é \dfrac{27}{10^{2}}, com k=2 é \dfrac{27}{10^{4}}, etc.

Passo 3

Reconhecemos a série do Passo 2 como uma série geométrica. Uma série geométrica infinita tem a forma
\sum_{k=0}^{\infty} a r^{k},
onde a é o primeiro termo e r é a razão comum. Essa série converge (tem soma finita) se, e somente se, |r|<1, e nesse caso a soma vale
\sum_{k=0}^{\infty} a r^{k} = \dfrac{a}{1-r}.
Explicando a fórmula rapidamente: se S=a+ar+ar^2+\cdots, então rS=ar+ar^2+\cdots; subtraindo S-rS=a (1-r)S=a, logo S=a/(1-r).

Passo 4

Para usar essa fórmula precisamos colocar a série do Passo 2 na forma a r^{k} com índice começando em 0. Podemos reescrever
\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{27}{10^{2k}} = 27\sum_{k=1}^{\infty} \left(\dfrac{1}{10^{2}}\right)^{k}.
Mudando o índice para começar em 0 (colocando j=k-1) obtemos
27\sum_{j=0}^{\infty} \left(\dfrac{1}{10^{2}}\right)^{j+1} = 27\cdot \dfrac{1}{10^{2}}\sum_{j=0}^{\infty} \left(\dfrac{1}{10^{2}}\right)^{j}.
Aqui o primeiro termo da série geométrica (agora com índice j) é a=\dfrac{1}{10^{2}} e a razão é r=\dfrac{1}{10^{2}}. Como |r|=\dfrac{1}{100}<1, a soma é
27\cdot \dfrac{1}{10^{2}}\cdot \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{10^{2}}}.

Passo 5

Agora calculamos a expressão do Passo 4 passo a passo:
Primeiro calcule 1-\dfrac{1}{10^{2}}:
1-\dfrac{1}{10^{2}} = 1-\dfrac{1}{100} = \dfrac{99}{100}.
Então
27\cdot \dfrac{1}{10^{2}}\cdot \dfrac{1}{1-\dfrac{1}{10^{2}}} = 27\cdot \dfrac{1}{100}\cdot \dfrac{1}{\tfrac{99}{100}} = 27\cdot \dfrac{1}{100}\cdot \dfrac{100}{99} = \dfrac{27}{99}.

Passo 6

Simplificamos a fração \dfrac{27}{99}. O máximo divisor comum entre 27 e 99 é 9. Dividindo numerador e denominador por 9 obtemos
\dfrac{27}{99} = \dfrac{27\div 9}{99\div 9} = \dfrac{3}{11}.

Passo 7

(Verificação rápida, método alternativo muito usado) Seja x=0,272727\ldots. Multiplicando por 100 (porque o período tem 2 dígitos) dá 100x=27,272727\ldots. Subtraindo x de 100x obtemos 99x=27, daí x=27/99=3/11. Isso confirma o resultado obtido via séries.

Resposta

\dfrac{3}{11}

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