Nos itens abaixo, determine se a série infinita é convergente ou divergente. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{|\csc n|}{n}
Passo 1
O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\csc n|}{n},
ou seja, a soma dos termos \dfrac{1}{n|\sin n|} para n=1,2,3,\dots. A pergunta é: determinar se essa série é convergente ou divergente.
Informações relevantes que temos:
O termo geral é a_n=\dfrac{|\csc n|}{n}=\dfrac{1}{n|\sin n|}.
Os valores \sin n são avaliados em n radianos (ou seja, n é inteiro, mas a função seno usa radianos).
Não há nenhuma hipótese extra no enunciado (apenas a série em si).
Passo 2
Lembrete importante (condição necessária para convergência):
Se uma série \sum a_n converge, então seus termos devem tender a zero: \lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Vou usar isso como uma ferramenta: se eu conseguir mostrar que existe uma subsequência de termos a_{n_k} que não tende a zero (por exemplo, que ficam maiores que uma constante positiva), então a série não pode convergir.
Passo 3
Idéia para encontrar termos grandes: mostrar que existem infinitamente muitos inteiros n para os quais |\sin n| é muito pequeno. Para isso uso um resultado clássico de aproximação de irracionais por racionais (uma forma do teorema de aproximação de Dirichlet):
Afirmação (forma necessária aqui): para o número irracional \pi existem infinitos pares de inteiros (p,q) com q\ge 1 tais que
\left|\pi - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^2}.
Explicação rápida e intuitiva do porquê isso existe (sem prova formal longa): usando o princípio da casa dos pombos aplicado às frações \{k\pi\} (as partes fracionárias) para k=1,\dots,N conclui-se que entre essas frações há duas muito próximas, a diferença dá uma boa aproximação racional de \pi. Variando N obtém-se infinitas aproximações com o erro da ordem de 1/q^2. Esse é um resultado padrão de diophantina que podemos usar.
Passo 4
Aplicando essa afirmação a \pi: existem infinitos inteiros q\ge1 e inteiros p tais que
\left|\pi - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^2}.
Reescrevendo,
|p - q\pi| < \frac{1}{q}.
Agora, para cada par (p,q) assim escolhido, consideremos o inteiro n=p. (Ou seja, escolho termos da série correspondentes a índices n que aparecem como numeradores dessas boas aproximações.)
Passo 5
Análise do seno nesses índices: note que
|\sin p| = |\sin(p - q\pi)|,
porque \sin(x+q\pi)=(-1)^q\sin x e, tomando valor absoluto, o sinal desaparece. Se definirmos \delta = p - q\pi, temos |\delta|<1/q e
|\sin p| = |\sin \delta|.
Usamos a desigualdade elementar (válida para todo real x):
Portanto, para cada par (p,q) vindo da aproximação, o termo a_p satisfaz
a_p \ge \frac{1}{\pi+1} > 0.
Como a aproximação de Dirichlet fornece infinitos pares (p,q), obtém-se infinitamente muitos índices p tais que a_p é maior ou igual a essa constante positiva \dfrac{1}{\pi+1}. Em particular, os termos da série não tendem a zero.
Passo 7
Conclusão lógica: uma condição necessária para convergência de \sum a_n é a_n\to 0. Aqui encontramos uma subsequência a_{p_k} que permanece bounded below por uma constante positiva, logo a_n\not\to 0. Portanto a série não pode convergir.