Nos itens abaixo, encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais \left\{s_{n}\right\}. Após isso, usando algum dos métodos para análise de séries numéricas, determine também se a série infinita é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a série infinita
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}
O que é pedido:
  • Encontrar os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais \{s_n\}, ou seja s_1,s_2,s_3,s_4, onde
s_n=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{2}{3}\right)^{k}.
  • Determinar se a série é convergente ou divergente; se for convergente, encontrar a soma da série infinita.
Informações importantes que temos do enunciado:
  • Cada termo da série é \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}.
  • O primeiro termo (quando n=1) é \dfrac{2}{3}.
  • A série é uma série geométrica com razão comum \dfrac{2}{3} (este número aparece como potência em cada termo).

Passo 2

Vamos calcular diretamente os quatro primeiros termos e ir somando para obter s_1,s_2,s_3,s_4.
  • O primeiro termo é
\left(\frac{2}{3}\right)^{1}=\frac{2}{3},
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s_1=\frac{2}{3}.
  • O segundo termo é
\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}.
Somando com o primeiro termo:
s_2=\frac{2}{3}+\frac{4}{9}.
Para somar, colocamos em denominador comum 9:
\frac{2}{3}=\frac{6}{9}, \qquad s_2=\frac{6}{9}+\frac{4}{9}=\frac{10}{9}.
  • O terceiro termo é
\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\frac{8}{27}.
Somando com os anteriores:
s_3=\frac{10}{9}+\frac{8}{27}.
Colocando em denominador comum 27:
\frac{10}{9}=\frac{30}{27}, \qquad s_3=\frac{30}{27}+\frac{8}{27}=\frac{38}{27}.
  • O quarto termo é
\left(\frac{2}{3}\right)^{4}=\frac{16}{81}.
Somando:
s_4=\frac{38}{27}+\frac{16}{81}.
Colocando em denominador comum 81:
\frac{38}{27}=\frac{114}{81}, \qquad s_4=\frac{114}{81}+\frac{16}{81}=\frac{130}{81}.
Até aqui temos os quatro primeiros termos da sequência de somas parciais: s_1=\dfrac{2}{3}, s_2=\dfrac{10}{9}, s_3=\dfrac{38}{27}, s_4=\dfrac{130}{81}.

Passo 3

Agora vamos obter uma fórmula geral para s_n. Para séries geométricas existe uma técnica padrão que fornece a soma parcial fechada.
Defina
s_n=\sum_{k=1}^{n}a r^{\,k-1}
no caso geral, com a sendo o primeiro termo. No nosso enunciado os termos estão escritos como \left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} começando em n=1. É conveniente identificar a e r deste modo:
  • Primeiro termo a=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{1}=\dfrac{2}{3}.
  • Razão r=\dfrac{2}{3} (cada termo é obtido multiplicando o anterior por r).
A derivação clássica (modo direto) para a soma parcial de uma geométrica é: escrever s_n, multiplicar por r e subtrair.
Escrevendo explicitamente para nossa série (começando em k=1):
s_n=\left(\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+\left(\frac{2}{3}\right)^{3}+\cdots+\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
Multiplicando ambos os lados por r=\dfrac{2}{3}:
\left(\frac{2}{3}\right)s_n=\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+\left(\frac{2}{3}\right)^{3}+\cdots+\left(\frac{2}{3}\right)^{n}+\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}.
Subtraindo a segunda equação da primeira (isto elimina quase todos os termos):
s_n-\left(\frac{2}{3}\right)s_n = \left(\frac{2}{3}\right) - \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}.
Fatorando o lado esquerdo:
\left(1-\frac{2}{3}\right)s_n = \frac{2}{3}-\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}.
Como 1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}, isolando s_n obtemos a fórmula fechada:
s_n=\frac{\dfrac{2}{3}-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}}{\dfrac{1}{3}}.

Passo 4

Vamos simplificar a expressão encontrada para s_n. Dividir por \dfrac{1}{3} é o mesmo que multiplicar por 3, portanto
s_n=3\left(\frac{2}{3}-\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}\right) =3\cdot\frac{2}{3}-3\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1} =2-3\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}.
Também é comum escrever a fórmula de forma equivalente usando a e r na forma padrão
s_n=a\frac{1-r^{n}}{1-r}.
Substituindo a=\dfrac{2}{3} e r=\dfrac{2}{3} nessa forma padrão:
s_n=\frac{2}{3}\cdot\frac{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}}{1-\dfrac{2}{3}} =\frac{2}{3}\cdot\frac{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}}{\dfrac{1}{3}} =2\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\right).
Estas duas expressões são algebraicamente equivalentes (pode-se verificar que 2-3\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}=2\left(1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\right)). Para checar consistência, substituindo n=1 em s_n=2\left(1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\right) obtém-se s_1=\dfrac{2}{3}, igual ao que calculamos diretamente; o mesmo vale para n=2,3,4.

Passo 5

Agora analisamos a convergência da série infinita. A soma da série infinita (se existir) é o limite dos somas parciais quando n\to\infty:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}=\lim_{n\to\infty}s_n.
Usando a fórmula fechada que encontramos,
s_n=2\left(1-\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\right).
Observação importante sobre potências: como \left|\dfrac{2}{3}\right|<1, temos
\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}=0.
Portanto, passando ao limite,
\lim_{n\to\infty}s_n=2\left(1-0\right).
Isso mostra que a sequência de somas parciais tem limite finito (logo a série é convergente) e fornece a soma da série.

Resposta

s_1=\dfrac{2}{3}
s_2=\dfrac{10}{9}
s_3=\dfrac{38}{27}
s_4=\dfrac{130}{81}
A série é convergente e sua soma é 2.

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