Nos itens abaixo, encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais
. Após isso, usando algum dos métodos para análise de séries numéricas, determine também se a série infinita é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre a sua soma.
Passo 1
O enunciado dá a série infinita
O que é pedido:
- Encontrar os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais
, ou seja , onde
- Determinar se a série é convergente ou divergente; se for convergente, encontrar a soma da série infinita.
Informações importantes que temos do enunciado:
- Cada termo da série é
. - O primeiro termo (quando
) é . - A série é uma série geométrica com razão comum
(este número aparece como potência em cada termo).
Passo 2
Vamos calcular diretamente os quatro primeiros termos e ir somando para obter
.
- O primeiro termo é
logo
- O segundo termo é
Somando com o primeiro termo:
Para somar, colocamos em denominador comum
:
- O terceiro termo é
Somando com os anteriores:
Colocando em denominador comum
:
- O quarto termo é
Somando:
Colocando em denominador comum
:
Até aqui temos os quatro primeiros termos da sequência de somas parciais:
,
,
,
.
Passo 3
Agora vamos obter uma fórmula geral para
. Para séries geométricas existe uma técnica padrão que fornece a soma parcial fechada.
Defina
no caso geral, com
sendo o primeiro termo. No nosso enunciado os termos estão escritos como
começando em
. É conveniente identificar
e
deste modo:
- Primeiro termo
. - Razão
(cada termo é obtido multiplicando o anterior por ).
A derivação clássica (modo direto) para a soma parcial de uma geométrica é: escrever
, multiplicar por
e subtrair.
Escrevendo explicitamente para nossa série (começando em
):
Multiplicando ambos os lados por
:
Subtraindo a segunda equação da primeira (isto elimina quase todos os termos):
Fatorando o lado esquerdo:
Como
, isolando
obtemos a fórmula fechada:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão encontrada para
. Dividir por
é o mesmo que multiplicar por
, portanto
Também é comum escrever a fórmula de forma equivalente usando
e
na forma padrão
Substituindo
e
nessa forma padrão:
Estas duas expressões são algebraicamente equivalentes (pode-se verificar que
). Para checar consistência, substituindo
em
obtém-se
, igual ao que calculamos diretamente; o mesmo vale para
.
Passo 5
Agora analisamos a convergência da série infinita. A soma da série infinita (se existir) é o limite dos somas parciais quando
:
Usando a fórmula fechada que encontramos,
Observação importante sobre potências: como
, temos
Portanto, passando ao limite,
Isso mostra que a sequência de somas parciais tem limite finito (logo a série é convergente) e fornece a soma da série.
Resposta
A série é convergente e sua soma é