As incógnitas são t,\;x,\;y,\;z. O objetivo é encontrar todas as tuplas (t,x,y,z) que satisfazem essas equações.]
Passo 2
Breve explicação do método (sem pular etapas): o Método de Gauss-Jordan transforma o sistema numa matriz aumentada e usa operações elementares sobre linhas para levar a matriz a uma forma reduzida em escada (forma reduzida por linhas). Operações elementares permitidas:
trocar duas linhas;
multiplicar uma linha por um escalar não-nulo;
somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Começamos escrevendo a matriz aumentada do sistema:
Vamos eliminar sistematicamente a primeira coluna (a variável t) abaixo da primeira linha, usando a primeira linha como pivô. Usamos as seguintes operações:
Interpretação das linhas resultantes como equações:
A primeira linha corresponde a \;2t + 1\cdot y - 2z = 1\;, ou seja
2t + y - 2z = 1.
A segunda linha corresponde a \;x + y - z = 1\;, ou seja
x + y - z = 1.
A terceira linha é 0 = 0, uma equação trivial (não acrescenta restrição).
Agora raciocínio sobre graus de liberdade: havia 4 incógnitas e apenas 2 equações independentes (posto da matriz é 2), portanto existem 4-2=2 variáveis livres. Escolhemos como variáveis livres y e z. Denotemos
y = \lambda,\qquad z = \mu,
onde \lambda,\mu\in\mathbb{R} são parâmetros livres.
Passo 6
Resolver as equações para x e t em função de \lambda,\mu.
Da segunda equação:
x + y - z = 1 \quad\Rightarrow\quad x = 1 - y + z.
Substituindo y=\lambda e z=\mu:
x = 1 - \lambda + \mu.
Da primeira equação:
2t + y - 2z = 1 \quad\Rightarrow\quad 2t = 1 - y + 2z.
Logo
t = \frac{1 - y + 2z}{2}.
Substituindo y=\lambda,\;z=\mu:
t = \frac{1 - \lambda + 2\mu}{2}.
Portanto a solução geral do sistema, em função dos parâmetros \lambda,\mu\in\mathbb{R}, é