Resolva os sistemas lineares abaixo usando o Método de Gauss-Jordan.
r)\left\{\begin{array}{l}2 t+x+2 y-3 z=2 \\\\ 6 t+2 x+5 y-8 z=5 \\\\ 2 t+3 x+4 y-5 z=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear e dá as três equações com quatro incógnitas. Vou listar explicitamente as informações que temos:
\begin{cases} 2t + x + 2y - 3z = 2,\\[4pt] 6t + 2x + 5y - 8z = 5,\\[4pt] 2t + 3x + 4y - 5z = 4. \end{cases}
As incógnitas são t,\;x,\;y,\;z. O objetivo é encontrar todas as tuplas (t,x,y,z) que satisfazem essas equações.]

Passo 2

Breve explicação do método (sem pular etapas): o Método de Gauss-Jordan transforma o sistema numa matriz aumentada e usa operações elementares sobre linhas para levar a matriz a uma forma reduzida em escada (forma reduzida por linhas). Operações elementares permitidas:
  • trocar duas linhas;
  • multiplicar uma linha por um escalar não-nulo;
  • somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Começamos escrevendo a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 2 & -3 & 2\\[4pt] 6 & 2 & 5 & -8 & 5\\[4pt] 2 & 3 & 4 & -5 & 4 \end{array}\right].]

Passo 3

Vamos eliminar sistematicamente a primeira coluna (a variável t) abaixo da primeira linha, usando a primeira linha como pivô. Usamos as seguintes operações:
R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Calculemos termo a termo.
Para R_2 - 3R_1:
  • 6 - 3\cdot 2 = 0,
  • 2 - 3\cdot 1 = -1,
  • 5 - 3\cdot 2 = -1,
  • -8 - 3\cdot(-3) = -8 +9 = 1,
  • 5 - 3\cdot 2 = -1.
Para R_3 - R_1:
  • 2 - 2 = 0,
  • 3 - 1 = 2,
  • 4 - 2 = 2,
  • -5 - (-3) = -5 +3 = -2,
  • 4 - 2 = 2.
A matriz fica então
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 2 & -3 & 2\\[4pt] 0 & -1 & -1 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 2 & 2 & -2 & 2 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora queremos um pivô igual a 1 na segunda linha (coluna correspondente a x). Multiplicamos a segunda linha por -1:
R_2 \leftarrow -R_2 \implies R_2 = [0\;1\;1\;-1\;1].
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 2 & -3 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 2 & -2 & 2 \end{array}\right].
Em seguida eliminamos os elementos na coluna de x das outras linhas usando R_2:
R_1 \leftarrow R_1 - R_2,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 2R_2.
Calculemos:
Para R_1 - R_2:
  • primeira entrada: 2 - 0 = 2 (coluna de t não muda),
  • segunda: 1 - 1 = 0,
  • terceira: 2 - 1 = 1,
  • quarta: -3 - (-1) = -3 +1 = -2,
  • constante: 2 - 1 = 1.
Para R_3 - 2R_2:
  • 0 - 0 = 0,
  • 2 - 2\cdot 1 = 0,
  • 2 - 2\cdot 1 = 0,
  • -2 - 2\cdot(-1) = -2 +2 = 0,
  • 2 - 2\cdot 1 = 0.
A matriz fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 2 & 0 & 1 & -2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 5

Interpretação das linhas resultantes como equações:
  • A primeira linha corresponde a \;2t + 1\cdot y - 2z = 1\;, ou seja
2t + y - 2z = 1.
  • A segunda linha corresponde a \;x + y - z = 1\;, ou seja
x + y - z = 1.
  • A terceira linha é 0 = 0, uma equação trivial (não acrescenta restrição).
Agora raciocínio sobre graus de liberdade: havia 4 incógnitas e apenas 2 equações independentes (posto da matriz é 2), portanto existem 4-2=2 variáveis livres. Escolhemos como variáveis livres y e z. Denotemos
y = \lambda,\qquad z = \mu,
onde \lambda,\mu\in\mathbb{R} são parâmetros livres.

Passo 6

Resolver as equações para x e t em função de \lambda,\mu.
Da segunda equação:
x + y - z = 1 \quad\Rightarrow\quad x = 1 - y + z.
Substituindo y=\lambda e z=\mu:
x = 1 - \lambda + \mu.
Da primeira equação:
2t + y - 2z = 1 \quad\Rightarrow\quad 2t = 1 - y + 2z.
Logo
t = \frac{1 - y + 2z}{2}.
Substituindo y=\lambda,\;z=\mu:
t = \frac{1 - \lambda + 2\mu}{2}.
Portanto a solução geral do sistema, em função dos parâmetros \lambda,\mu\in\mathbb{R}, é
(t,x,y,z)=\left(\dfrac{1 - \lambda + 2\mu}{2},\;1 - \lambda + \mu,\;\lambda,\;\mu\right).

Resposta

t=\dfrac{1 - \lambda + 2\mu}{2}
x=1 - \lambda + \mu
y=\lambda
z=\mu,\qquad \lambda,\mu\in\mathbb{R}

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