O sistema é homogêneo (todos os termos do lado direito são 0).
O que se pede:
Determinar os valores de k para os quais o sistema tem apenas a solução trivial (isto é, x_{1}=x_{2}=x_{3}=0).]
Passo 2
Entendendo o que significa “apenas a solução trivial” e qual condição procurar.
Um sistema linear homogêneo possui sempre a solução trivial x_{1}=x_{2}=x_{3}=0. Ter “apenas a solução trivial” significa que não existem soluções não nulas.
Para sistemas lineares homogêneos com coeficientes reais, isso ocorre exatamente quando a matriz dos coeficientes é invertível (ou seja, tem posto máximo). Uma maneira prática de verificar invertibilidade de uma matriz 3\times3 é calcular seu determinante: a matriz é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.
Passo 3
Escrever a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante. A matriz dos coeficientes A é
A = \begin{pmatrix} 2 & -5 & 3\\[4pt] 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 0 & k \end{pmatrix}.
Vamos calcular \det(A) por desenvolvimento pela primeira linha. Usando a fórmula do determinante por cofactores:
Relacionar o determinante com a existência de soluções não triviais e resolver para k.
Como discutido, o sistema terá apenas a solução trivial quando a matriz dos coeficientes for invertível, isto é, quando \det(A)\neq 0.
Temos \det(A)=7k-16. Logo a condição é
7k-16 \neq 0.
Resolver para k:
7k \neq 16 \quad\Rightarrow\quad k \neq \frac{16}{7}.
Portanto, para qualquer k diferente de \dfrac{16}{7} a matriz é invertível e o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial. Se k=\dfrac{16}{7}, o determinante é zero e o sistema terá infinitas soluções (ou pelo menos uma não trivial).