Nos itens abaixo, determine o valor de k de acordo ao que se pede:
Para que o sistema
\left\{* 2 x_{1}-5 x_{2}+3 x_{3}=0, x_{1}+x_{2}+x_{3}=0,2 x_{1}+k x_{3}=0,\right.
tenha apenas a solução trivial.

Passo 1

O enunciado dá o sistema homogêneo
\left\{\begin{array}{l} 2x_{1}-5x_{2}+3x_{3}=0,\\[4pt] x_{1}+x_{2}+x_{3}=0,\\[4pt] 2x_{1}+kx_{3}=0, \end{array}\right.
As informações relevantes são:
  • São três incógnitas x_{1},x_{2},x_{3}.
  • O sistema é homogêneo (todos os termos do lado direito são 0).
    O que se pede:
  • Determinar os valores de k para os quais o sistema tem apenas a solução trivial (isto é, x_{1}=x_{2}=x_{3}=0).]

Passo 2

Entendendo o que significa “apenas a solução trivial” e qual condição procurar.
  • Um sistema linear homogêneo possui sempre a solução trivial x_{1}=x_{2}=x_{3}=0. Ter “apenas a solução trivial” significa que não existem soluções não nulas.
  • Para sistemas lineares homogêneos com coeficientes reais, isso ocorre exatamente quando a matriz dos coeficientes é invertível (ou seja, tem posto máximo). Uma maneira prática de verificar invertibilidade de uma matriz 3\times3 é calcular seu determinante: a matriz é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero.

Passo 3

Escrever a matriz dos coeficientes e calcular seu determinante. A matriz dos coeficientes A é
A = \begin{pmatrix} 2 & -5 & 3\\[4pt] 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 0 & k \end{pmatrix}.
Vamos calcular \det(A) por desenvolvimento pela primeira linha. Usando a fórmula do determinante por cofactores:
\det(A)=2\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & k\end{pmatrix} -(-5)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & k\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix}.
Calculemos cada menor:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]0 & k\end{pmatrix}=1\cdot k - 1\cdot 0 = k,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & k\end{pmatrix}=1\cdot k - 1\cdot 2 = k-2,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 0\end{pmatrix}=1\cdot 0 - 1\cdot 2 = -2.
Substituindo esses valores em \det(A):
\det(A)=2\cdot k +5\cdot (k-2) +3\cdot(-2).
Agora simplificar passo a passo:
2\cdot k = 2k,
5\cdot (k-2)=5k-10,
3\cdot(-2)=-6.
Somando:
\det(A)=2k + (5k-10) -6 = 7k -16.]

Passo 4

Relacionar o determinante com a existência de soluções não triviais e resolver para k.
  • Como discutido, o sistema terá apenas a solução trivial quando a matriz dos coeficientes for invertível, isto é, quando \det(A)\neq 0.
  • Temos \det(A)=7k-16. Logo a condição é
7k-16 \neq 0.
Resolver para k:
7k \neq 16 \quad\Rightarrow\quad k \neq \frac{16}{7}.
Portanto, para qualquer k diferente de \dfrac{16}{7} a matriz é invertível e o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial. Se k=\dfrac{16}{7}, o determinante é zero e o sistema terá infinitas soluções (ou pelo menos uma não trivial).

Resposta

k \neq \dfrac{16}{7}

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