Resolva os sistemas lineares abaixo usando o Método de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{aligned}-13 t+x+5 y+4 z & =3 \\\\ 5 t+3 x-y+2 z & =2 ; \\\\ -4 t+2 x+2 y+3 z & =1\end{aligned}\right.;

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com quatro incógnitas t,x,y,z e três equações:
\left\{\begin{aligned} -13t + x + 5y + 4z &= 3,\\[4pt] 5t + 3x - y + 2z &= 2,\\[4pt] -4t + 2x + 2y + 3z &= 1. \end{aligned}\right.
O que é pedido: resolver o sistema usando o Método de Gauss–Jordan (ou seja, levar a matriz aumentada à forma reduzida por linhas).
Informações relevantes fornecidas:
  • As três equações acima (coeficientes e termos independentes).
  • As incógnitas são t,x,y,z.]

Passo 2

Breve explicação do método (Gauss–Jordan), sem pular etapas:
  • Monta-se a matriz aumentada do sistema (colunas com os coeficientes das incógnitas e a última coluna com os termos independentes).
  • Usa-se operações elementares de linha (trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar a múltiplo de uma linha a outra) para obter, se possível, a forma reduzida por linhas (RREF): a forma em que cada pivot (primeiro elemento não nulo de uma linha) é 1, pivôs são os únicos elementos não nulos nas suas colunas, e linhas nulas (se houver) ficam abaixo das não nulas.
  • Se ao chegar a uma linha do tipo 0\;0\;0\;\dots\;0\;\big|\;c com c\neq0, então o sistema é inconsistente (não tem solução).
    Vou aplicar esse procedimento passo a passo, mostrando as operações de linha explicitamente e explicando cada transformação.

Passo 3

Montagem da matriz aumentada (colunas: t,x,y,z | termo independente):
\left[\begin{array}{cccc|c} -13 & 1 & 5 & 4 & 3\\[4pt] 5 & 3 & -1 & 2 & 2\\[4pt] -4 & 2 & 2 & 3 & 1 \end{array}\right]]

Passo 4

Escolher um pivot na coluna de t. Uso a segunda linha como pivot porque tem coeficiente 5 em t. Primeiro normalizo essa linha para obter pivot 1:
R_2 \leftarrow \frac{1}{5}R_2
Resultado:
\left[\begin{array}{cccc|c} -13 & 1 & 5 & 4 & 3\\[4pt] 1 & \tfrac{3}{5} & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} & \tfrac{2}{5}\\[4pt] -4 & 2 & 2 & 3 & 1 \end{array}\right]
Explicação: agora a segunda linha tem entrada 1 na coluna de t, então podemos eliminar t das outras linhas somando às outras linhas múltiplos adequados dessa linha.]

Passo 5

Eliminar a coluna de t nas linhas 1 e 3:
  • Para zerar o coeficiente de t na linha 1 ( -13), faço R_1 \leftarrow R_1 + 13R_2.
  • Para zerar o coeficiente de t na linha 3 ( -4), faço R_3 \leftarrow R_3 + 4R_2.
Cálculos (mostrando cada entrada para ficar claro):
  • R_1 + 13R_2:
    • t: -13 + 13\cdot1 = 0.
    • x: 1 + 13\cdot\tfrac{3}{5} = 1 + \tfrac{39}{5} = \tfrac{44}{5}.
    • y: 5 + 13\cdot\big(-\tfrac{1}{5}\big) = 5 - \tfrac{13}{5} = \tfrac{12}{5}.
    • z: 4 + 13\cdot\tfrac{2}{5} = 4 + \tfrac{26}{5} = \tfrac{46}{5}.
    • termo: 3 + 13\cdot\tfrac{2}{5} = 3 + \tfrac{26}{5} = \tfrac{41}{5}.
  • R_3 + 4R_2:
    • t: -4 + 4\cdot1 = 0.
    • x: 2 + 4\cdot\tfrac{3}{5} = 2 + \tfrac{12}{5} = \tfrac{22}{5}.
    • y: 2 + 4\cdot\big(-\tfrac{1}{5}\big) = 2 - \tfrac{4}{5} = \tfrac{6}{5}.
    • z: 3 + 4\cdot\tfrac{2}{5} = 3 + \tfrac{8}{5} = \tfrac{23}{5}.
    • termo: 1 + 4\cdot\tfrac{2}{5} = 1 + \tfrac{8}{5} = \tfrac{13}{5}.
A matriz fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 0 & \tfrac{44}{5} & \tfrac{12}{5} & \tfrac{46}{5} & \tfrac{41}{5}\\[6pt] 1 & \tfrac{3}{5} & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} & \tfrac{2}{5}\\[6pt] 0 & \tfrac{22}{5} & \tfrac{6}{5} & \tfrac{23}{5} & \tfrac{13}{5} \end{array}\right]
Para simplificar os cálculos posteriores, multiplico as linhas 1 e 3 por 5 (operação permitida, apenas para limpar denominadores):
\left[\begin{array}{cccc|c} 0 & 44 & 12 & 46 & 41\\[4pt] 1 & \tfrac{3}{5} & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} & \tfrac{2}{5}\\[4pt] 0 & 22 & 6 & 23 & 13 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora foco na coluna de x (segunda coluna). Uso a primeira linha (aquela com 44 em x) e normalizo para obter pivot 1:
R_1 \leftarrow \frac{1}{44}R_1.
Cálculo dos elementos:
  • x: 44/44 = 1.
  • y: 12/44 = \tfrac{3}{11}.
  • z: 46/44 = \tfrac{23}{22}.
  • termo: 41/44.
A matriz fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 0 & 1 & \tfrac{3}{11} & \tfrac{23}{22} & \tfrac{41}{44}\\[6pt] 1 & \tfrac{3}{5} & -\tfrac{1}{5} & \tfrac{2}{5} & \tfrac{2}{5}\\[6pt] 0 & 22 & 6 & 23 & 13 \end{array}\right]
Agora zero na coluna x nas outras linhas usando R_1:
  • Para a linha 2: R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{3}{5}R_1 (pois R_2 tem \tfrac{3}{5} em x).
  • Para a linha 3: R_3 \leftarrow R_3 - 22R_1 (pois R_3 tem 22 em x).]

Passo 7

Executando as eliminações descritas:
  1. Linha 2:
  • Subtraindo \tfrac{3}{5} vezes R_1 de R_2:
    • t: permanece 1 (coluna t em R_1 é 0).
    • x: \tfrac{3}{5} - \tfrac{3}{5}\cdot 1 = 0.
    • y: -\tfrac{1}{5} - \tfrac{3}{5}\cdot\tfrac{3}{11} = -\tfrac{1}{5} - \tfrac{9}{55} = -\tfrac{11}{55} - \tfrac{9}{55} = -\tfrac{20}{55} = -\tfrac{4}{11}.
    • z: \tfrac{2}{5} - \tfrac{3}{5}\cdot\tfrac{23}{22} = \tfrac{2}{5} - \tfrac{69}{110} = \tfrac{44}{110} - \tfrac{69}{110} = -\tfrac{25}{110} = -\tfrac{5}{22}.
    • termo: \tfrac{2}{5} - \tfrac{3}{5}\cdot\tfrac{41}{44} = \tfrac{2}{5} - \tfrac{123}{220} = \tfrac{88}{220} - \tfrac{123}{220} = -\tfrac{35}{220} = -\tfrac{7}{44}.
Logo a nova linha 2 é:
\big(1,\;0,\; -\tfrac{4}{11},\; -\tfrac{5}{22}\;|\; -\tfrac{7}{44}\big).
  1. Linha 3:
  • Subtraindo 22 vezes R_1 de R_3:
    • t: 0 - 22\cdot0 = 0.
    • x: 22 - 22\cdot1 = 0.
    • y: 6 - 22\cdot\tfrac{3}{11} = 6 - 6 = 0.
    • z: 23 - 22\cdot\tfrac{23}{22} = 23 - 23 = 0.
    • termo: 13 - 22\cdot\tfrac{41}{44} = 13 - \tfrac{22\cdot41}{44} = 13 - \tfrac{41}{2} = \tfrac{26}{2} - \tfrac{41}{2} = -\tfrac{15}{2}.
Portanto a nova linha 3 é:
\big(0,\;0,\;0,\;0\;|\; -\tfrac{15}{2}\big).
A matriz agora é:
\left[\begin{array}{cccc|c} 0 & 1 & \tfrac{3}{11} & \tfrac{23}{22} & \tfrac{41}{44}\\[6pt] 1 & 0 & -\tfrac{4}{11} & -\tfrac{5}{22} & -\tfrac{7}{44}\\[6pt] 0 & 0 & 0 & 0 & -\tfrac{15}{2} \end{array}\right]]

Passo 8

Interpretação da linha 3: ela representa a equação
0\cdot t + 0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = -\tfrac{15}{2},
ou seja 0 = -\tfrac{15}{2}, o que é uma contradição. Quando, ao reduzir a matriz, surge uma linha com todos os coeficientes nulos e termo independente diferente de zero, isso significa que o sistema é inconsistente — não existe nenhum conjunto de valores (t,x,y,z) que satisfaça simultaneamente as três equações iniciais.
Conclusão final: sistema sem soluções.

Resposta

Sistema incompatível (sem solução).

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