Nos itens abaixo, determine o valor exato das integrais definidas (Riemman).
integral0^1 z(z^2+1)^3 d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1 z(z^2+1)^3 ,dz.
O conteúdo aqui é técnica de integração por substituição, já que vemos z^2+1 no denominador e sua derivada 2z aparece no numerador.

Passo 2

Fazemos a substituição
,u = z^2+1,
o que dá
,du = 2z,dz
e portanto
,z,dz = tfracdu2.
Quando z=0, u=1; quando z=1, u=2.
Assim a integral vira
integral0^1 z(z^2+1)^3 ,dz = integralu=1^2 1u^3;du2 = 12integral1^2u^-3,du

Passo 3

Agora encontramos a antiderivada de u^-3:
integral u^-3,du = u^-2-2 = -12,u^2
Logo,
12integral1^2u^-3,du = 12l[-tfrac12u^2r]1^2 = -14l(tfrac12^2-tfrac11^2r) = -14l(tfrac14-1r) = -14l(-tfrac34r) = 316

Resposta

316

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