Nos itens abaixo, determine o valor exato das integrais definidas (Riemman).
integral-1^1 (r^23+2)^4raiz[3]r d r

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
I = integral-1^1 l(r^23+2r)^4raiz[3]r,dr
O conteúdo envolve integras impróprias (pois o integrando diverge em r=0) e o uso de simetria de função ímpar.

Passo 2

Como há singularidade em r=0, escrevemos
I = limvarepsilonto0^+gl(integral-1^-varepsilon (r^23+2)^4raiz[3]r,dr + integralvarepsilon^1 (r^23+2)^4raiz[3]r,drgr)
Para testar convergência em r=0, note que perto de zero (r^2/3+2)^4approx 2^4=16, então o integrando se comporta como 16,r^-1/3, integrável pois integral0^1r^-1/3dr converge.

Passo 3

Fazemos a substituição de variável
r = t^3, dr = 3,t^2,dt, raiz[3]r=t, r^23=t^2
Os limites r=-1to t=-1 e r=1to t=1. Então
I = integralt=-1^1 l(t^2+2r)^4t,(3t^2,dt) = integral-1^1 3,t,(t^2+2)^4,dt

Passo 4

Defina g(t)=3,t,(t^2+2)^4. Como g(-t)=-3,t,(t^2+2)^4=-g(t), g é função ímpar. A integral de uma função ímpar em intervalo simétrico [-1,1] é zero, logo
I = integral-1^1 g(t),dt = 0

Resposta

0

Exercícios relacionados