Nos itens abaixo, determine o valor exato das integrais definidas (Riemman).
integral-1^2 ln (t+2) d t

Passo 1

O enunciado pede a integral definida de
integral-1^2ln(t+2),dt
O conteúdo aqui é integração de função logarítmica, e vamos usar integração por partes ou uma substituição simples para reduzir ao caso integral ln(u),du.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = t+2, du = dt,
quando t=-1 temos u=1 e quando t=2 temos u=4. A integral vira
integral-1^2ln(t+2),dt ;=;integral1^4ln(u),du

Passo 3

Para avaliar integralln(u),du use integração por partes escolhendo
A = ln(u), dB = du,
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dA = 1udu, B = u
Pela fórmula integral A,dB = AB - integral B,dA, obtemos
integralln(u),du = uln(u) - integral ucdot1u,du = uln(u) - u + C

Passo 4

Definindo a primitiva
F(u) = uln(u) - u,
avaliamos de u=1 a u=4:
F(4) - F(1) = l(4ln(4)-4r);-;l(1ln(1)-1r) = 4ln(4)-4 - (0-1) = 4ln(4) -3

Passo 5

Como ln(4)=2ln(2), temos
4ln(4)-3 = 4cdot2ln(2) -3 = 8ln(2) -3

Resposta

integral-1^2ln(t+2),dt = 8ln(2) - 3

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