( 1 , 0 p o n t o ) D e t e r m i n e o v a l o r d e x, sabendo que A(x, 1,1), B(1,-1,0) e C(2,1,-1) são vértices de um triângulo de área raiz292. Este triângulo é retângulo?

Passo 1

Temos o triângulo com vértices
A(x,1,1), B(1,-1,0) e C(2,1,-1), e queremos área=tfracraiz292á.
O conteúdo aqui é a fórmula de área via produto vetorial:
área=12l|,ABtimesACr| á

Passo 2

Calculemos os vetores
AB=B-A=(1-x,,-2,,-1)
e
AC=C-A=(2-x,,0,,-2).

Passo 3

O produto vetorial é
ABtimesAC = i&j&k 1-x&-2&-1 2-x&0&-2 =l(4,,-x,,4-2xr)

Passo 4

A norma ao quadrado vale
l|ABtimesACr|^2 =4^2+(-x)^2+(4-2x)^2 =32+5x^2-16x
Queremos tfrac12raiz32+5x^2-16x=tfracraiz292, isto é
32+5x^2-16x=29 Longrightarrow 5x^2-16x+3=0
Resolvendo, vem x=16pmraiz19610=3,tfrac15

Passo 5

Para ver se o triângulo é retângulo, bastaria algum ângulo de 90^circ. Por exemplo, em A teríamos
ABcdotAC= (1-x)(2-x)+2= x^2-3x+4,
que nunca é zero para x=3 nem x=tfrac15. Testes análogos em B ou C também não dão zero. Logo, não há ângulo reto.

Resposta

Os valores de x são 3 ou tfrac15.
Este triângulo não é retângulo.

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