Nos itens abaixo encontre a dimensão do espaço vetorial V e dê uma base para V
V=p(x) em P2: p(1)=0

Passo 1

O enunciado pede a dimensão e uma base do subespaço
V = ,p(x)in P2 mid p(1)=0,
onde P2 é o espaço dos polinômios de grau no máximo 2. Vamos usar que dim P2=3 e que a condição p(1)=0 é uma restrição linear.

Passo 2

Como dim P2=3 e V é definido por uma única equação linear independente ( p(1)=0), segue-se que
dim V = 3 - 1 = 2

Passo 3

Seja o polinômio genérico em P2:
p(x) = a x^2 + b x + c
A condição p(1)=0 implica
a + b + c = 0 Longrightarrow c = -,a - b
Substituindo em p(x) obtemos
p(x) = a x^2 + b x - a - b = al(x^2 - 1r) ;+; b,(x - 1)

Passo 4

Da expressão
p(x) = a,(x^2 - 1) ;+; b,(x - 1)
vemos que todo polinômio de V é combinação linear de ,x^2-1,;x-1. Além disso, esses dois vetores são linearmente independentes, pois nenhum é múltiplo escalar do outro.

Resposta

dim V = 2
Uma possível base para V é
,x^2 - 1,;x - 1

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