Nos itens abaixo, encontre o domínio da função; encontre a imagem da função; descreva as curvas de nível da função.
f(x, y)=x y

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x,y)=xy\, e pede três coisas:
  1. Encontrar o domínio de f.
  2. Encontrar a imagem (conjunto de valores) de f.
  3. Descrever as curvas de nível de f (os conjuntos \{(x,y)\mid f(x,y)=c\} para constantes c).
Informações relevantes fornecidas: a fórmula explícita \,f(x,y)=xy para quaisquer variáveis reais x e y. Nada mais foi dado (não há restrições explícitas sobre x e y).

Passo 2

O que significa “domínio” aqui? Domínio é o conjunto de todos os pares (x,y) para os quais a expressão que define f está bem definida (tem sentido). Algumas funções têm restrições naturais (por exemplo, \sqrt{\cdot} exige argumento não-negativo, ou divisão por zero é proibida). No nosso caso a expressão é um produto de duas variáveis x e y.
Observação didática: o produto de dois números reais é sempre bem definido para quaisquer x\in\mathbb{R} e y\in\mathbb{R}. Não há raiz, log, ou divisão que pudesse criar restrição.
Conclusão: todo par (x,y) com x e y reais é permitido; portanto o domínio é o plano inteiro.

Passo 3

Resultado do domínio (com a resposta formal): o domínio é
\{(x,y)\mid x\in\mathbb{R},\;y\in\mathbb{R}\}=\mathbb{R}^2.
Comentário motivador: isso quer dizer que ao resolver questões na prova podemos escolher qualquer par real (x,y) e aplicar f sem preocupação.

Passo 4

O que significa “imagem” (ou “contradomínio efetivo”)? Imagem é o conjunto de todos os valores reais z que aparecem como z=f(x,y) para algum (x,y) no domínio. Formalmente,
\mathrm{Im}(f)=\{z\in\mathbb{R}\mid \exists(x,y)\in\mathbb{R}^2\text{ tal que }f(x,y)=z\}.
Estratégia simples e construtiva: para mostrar que a imagem contém um valor qualquer c\in\mathbb{R}, basta encontrar um par (x,y) tal que xy=c. Uma escolha óbvia e prática é fixar y=1 e tomar x=c. Então f(c,1)=c\cdot 1=c. Isso prova que todo c\in\mathbb{R} é atingido por f.
Conclusão: a imagem de f é todo o conjunto \mathbb{R}.

Passo 5

Prova formal curta da imagem: dado qualquer c\in\mathbb{R}, escolha (x,y)=(c,1). Então
f(c,1)=c\cdot 1=c,
logo c pertence à imagem. Como c era arbitrário, \mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}.
Comentário útil para prova: isso também mostra que f é sobrejetora quando vista como função \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}.

Passo 6

Definição das curvas de nível: para cada constante c\in\mathbb{R} a curva de nível (nível c) é o conjunto
L_c=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid f(x,y)=c\}=\{(x,y)\mid xy=c\}.
Agora vamos discutir os dois casos importantes: c=0 e c\neq 0.

Passo 7

Caso c=0. A equação xy=0 significa que pelo menos um dos fatores é zero. Assim
xy=0 \Longleftrightarrow x=0 \text{ ou } y=0.
Portanto a curva de nível L_0 é a união dos eixos coordenados x-eixo e y-eixo:
L_0 = \{(x,y)\mid x=0\}\\ \cup\\ \{(x,y)\mid y=0\}.
Interpretação geométrica: é o conjunto formado pelas duas retas perpendiculares que cruzam a origem.

Passo 8

Caso c\neq 0. Para c\neq 0 podemos resolver para y em função de x (desde que x\neq 0):
xy=c \quad\Longleftrightarrow\quad y=\frac{c}{x},\qquad x\neq 0.
Uma maneira prática de parametrizar a curva é tomar x=t (com t\neq 0) e então y=\dfrac{c}{t}. Essa curva é uma hipérbole do tipo “retangular” (hipérbole equilátera) cujas assíntotas são os eixos coordenados.
Características geométricas importantes:
  • Se c>0, então x e y têm o mesmo sinal. As duas “folhas” da hipérbole ficam no primeiro quadrante ( x>0,y>0) e no terceiro quadrante ( x<0,y<0).
  • Se c<0, então x e y têm sinais opostos. As folhas ficam no segundo e quarto quadrantes.
  • As assíntotas são as retas x=0 e y=0; quando |x|\to\infty, y=c/x\to 0.
  • Uma forma típica a desenhar na prova: para c=1 você tem y=1/x; para c=2 é y=2/x (mais “achatada” para valores grandes de |x|); para c=-1 é a hipérbole refletida.

Passo 9

Comentário adicional de comportamento: a curva y=c/x é suave e monotônica em cada ramo (podemos calcular dy/dx=-c/x^2 quando usar cálculo; isso mostra que para c>0 cada ramo é estritamente decrescente e para c<0 é estritamente crescente). Mas esse detalhe só é necessário se você quiser analisar a inclinação das curvas ao desenhá-las.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}^2
Imagem: \mathbb{R}
Curvas de nível: para c=0, L_0=\{(x,y)\mid x=0\}\cup\{(x,y)\mid y=0\} (os eixos); para c\neq 0, L_c=\{(x,y)\mid xy=c\}, ou seja y=\dfrac{c}{x} ( x\neq 0), que são hipérboles com assíntotas x=0 e y=0 — folhas em Q1 e Q3 se c>0, e em Q2 e Q4 se c<0.

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