Nos itens abaixo, encontre o domínio da função; encontre a imagem da função; descreva as curvas de nível da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- Encontrar o domínio de
. - Encontrar a imagem (conjunto de valores) de
. - Descrever as curvas de nível de
(os conjuntos para constantes ).
Informações relevantes fornecidas: a fórmula explícita
para quaisquer variáveis reais
e
. Nada mais foi dado (não há restrições explícitas sobre
e
).
Passo 2
O que significa “domínio” aqui? Domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a expressão que define
está bem definida (tem sentido). Algumas funções têm restrições naturais (por exemplo,
exige argumento não-negativo, ou divisão por zero é proibida). No nosso caso a expressão é um produto de duas variáveis
e
.
Observação didática: o produto de dois números reais é sempre bem definido para quaisquer
e
. Não há raiz, log, ou divisão que pudesse criar restrição.
Conclusão: todo par
com
e
reais é permitido; portanto o domínio é o plano inteiro.
Passo 3
Resultado do domínio (com a resposta formal): o domínio é
Comentário motivador: isso quer dizer que ao resolver questões na prova podemos escolher qualquer par real
e aplicar
sem preocupação.
Passo 4
O que significa “imagem” (ou “contradomínio efetivo”)? Imagem é o conjunto de todos os valores reais
que aparecem como
para algum
no domínio. Formalmente,
Estratégia simples e construtiva: para mostrar que a imagem contém um valor qualquer
, basta encontrar um par
tal que
. Uma escolha óbvia e prática é fixar
e tomar
. Então
. Isso prova que todo
é atingido por
.
Conclusão: a imagem de
é todo o conjunto
.
Passo 5
Prova formal curta da imagem: dado qualquer
, escolha
. Então
logo
pertence à imagem. Como
era arbitrário,
.
Comentário útil para prova: isso também mostra que
é sobrejetora quando vista como função
.
Passo 6
Definição das curvas de nível: para cada constante
a curva de nível (nível
) é o conjunto
Agora vamos discutir os dois casos importantes:
e
.
Passo 7
Caso
. A equação
significa que pelo menos um dos fatores é zero. Assim
Portanto a curva de nível
é a união dos eixos coordenados
-eixo e
-eixo:
Interpretação geométrica: é o conjunto formado pelas duas retas perpendiculares que cruzam a origem.
Passo 8
Caso
. Para
podemos resolver para
em função de
(desde que
):
Uma maneira prática de parametrizar a curva é tomar
(com
) e então
. Essa curva é uma hipérbole do tipo “retangular” (hipérbole equilátera) cujas assíntotas são os eixos coordenados.
Características geométricas importantes:
- Se
, então e têm o mesmo sinal. As duas “folhas” da hipérbole ficam no primeiro quadrante ( ) e no terceiro quadrante ( ). - Se
, então e têm sinais opostos. As folhas ficam no segundo e quarto quadrantes. - As assíntotas são as retas
e ; quando , . - Uma forma típica a desenhar na prova: para
você tem ; para é (mais “achatada” para valores grandes de ); para é a hipérbole refletida.
Passo 9
Comentário adicional de comportamento: a curva
é suave e monotônica em cada ramo (podemos calcular
quando usar cálculo; isso mostra que para
cada ramo é estritamente decrescente e para
é estritamente crescente). Mas esse detalhe só é necessário se você quiser analisar a inclinação das curvas ao desenhá-las.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Curvas de nível: para ,
(os eixos); para
,
, ou seja
(
), que são hipérboles com assíntotas
e
— folhas em Q1 e Q3 se
, e em Q2 e Q4 se
.
Imagem:
Curvas de nível: para