Nos itens abaixo, encontre o fluxo do campo F dado através do hemisfério superior da esfera x^2+y^2+z^2=a^2, z >= 0. Oriente a superfície para fora.
F=-y i+x j-k;

Passo 1

Queremos o fluxo do campo F = -y, i + x, j - k através do hemisfério superior da esfera x^2+y^2+z^2=a^2, z>=0, orientado para fora. O conteúdo aqui é integral de superfície de campos vetoriais e vamos usar o Teorema da Divergência (Gauss) para simplificar o cálculo.

Passo 2

Calculemos a divergência de F:
nabla!cdot F =partial(-y)partial x+partial(x)partial y+partial(-1)partial z =0+0+0=0
Pelo Teorema da Divergência, o fluxo através da superfície fechada formada pelo hemisfério mais o disco de base é
integral duplahemisfério Fcdot d S +integral dupladisco Fcdot d S =integral triplavolume(nabla!cdot F),dV =0 é
Logo
integral duplahemisfério Fcdot d S =-integral dupladisco Fcdot d S é

Passo 3

No disco de raio a, plano z=0, o vetor normal que completa a superfície fechada orientada para fora da bola aponta para baixo: n=- k. Em z=0, F(-y,x,-1). Então
Fcdot n =(-y,x,-1)cdot(0,0,-1)=1
O fluxo pelo disco é
integral dupladisco1,dS =área do disco=pi a^2 á

Passo 4

Da relação do Passo 2,
integral duplahemisfério Fcdot d S =-pi a^2 é

Resposta

O fluxo de F através do hemisfério superior orientado para fora é
-pi a^2

Exercícios relacionados