Resolva os seguintes problemas de Sturm-Liouville, ou seja, determine os autovalores e as autofunções do problema de contorno, nos seguintes casos:
y^prime prime+2 y^prime+(1+lambda) y=0 com y(0)=0=y^prime(5);

Passo 1

O problema é a ODE
y'' + 2y' + (1 + lambda),y = 0
com condições de contorno
y(0)=0, y'(5)=0
Vamos tratar como uma equação diferencial de coeficientes constantes, encontrar a solução geral em função de lambda e impor as condições para obter autovalores e autofunções.

Passo 2

Escrevendo a equação característica, temos
r^2 + 2r + (1 + lambda) = 0
cujas raízes são
r = -1 pm raiz1 - (1 + lambda) = -1 pm iraizlambda
Chamando k = raizlambda>=0, a solução geral é
y(x) = e^-xl(Acos(kx) + Bsin(kx)r)

Passo 3

Impondo y(0)=0
y(0)=A=0,
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y(x) = B,e^-xsin(kx)

Passo 4

Calculamos
y'(x) = B,ddxl(e^-xsin(kx)r) = B,e^-xl(-sin(kx) + kcos(kx)r)
Então y'(5)=0 implica
-sin(5k) + kcos(5k) = 0 Longrightarrow tan(5k) = k
Os valores admissíveis de k são as raízes positivas dessa equação transcendental.

Passo 5

Concluímos que os autovalores são
lambdan = kn^2,
onde kn>0 satisfaz tan(5kn)=kn. As autofunções associadas (até constante de normalização) são
yn(x) = e^-xsin(kn x)

Resposta

lambdan = kn^2, onde kn é o n-ésimo solução positiva de
tan(5k) = k,
e
yn(x) = Cn,e^-xsin(kn x),
com Cn constante de normalização.

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