Resolva os seguintes problemas de Sturm-Liouville, ou seja, determine os autovalores e as autofunções do problema de contorno, nos seguintes casos:
;
Passo 1
O problema é a ODE
com condições de contorno
Vamos tratar como uma equação diferencial de coeficientes constantes, encontrar a solução geral em função de
e impor as condições para obter autovalores e autofunções.
Passo 2
Escrevendo a equação característica, temos
cujas raízes são
Chamando
, a solução geral é
Passo 3
Impondo
dá
logo
Passo 4
Calculamos
Então
implica
Os valores admissíveis de
são as raízes positivas dessa equação transcendental.
Passo 5
Concluímos que os autovalores são
onde
satisfaz
. As autofunções associadas (até constante de normalização) são
Resposta
e
com
constante de normalização.