Nos itens abaixo encontre o intervalo de confiança para a média populacional mu, supondo que a população tenha distribuição normal.
Peso perdido com a dieta dos Vigilantes do Peso: 95 % de confiança; n=41, barx=3,0 kg, s=4,9 kg;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o intervalo de confiança para a média populacional mu usando uma distribuição normal. Temos os seguintes dados: nível de confiança de 95%, tamanho da amostra n=41, média amostral barx=3,0 kg e desvio padrão amostral s=4,9 kg. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular intervalos de confiança para a média quando a população segue uma distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o intervalo de confiança para a média populacional mu quando a distribuição é normal. A fórmula geral é:
barx pm talpha/2 times ( sraizn )
Aqui, barx é a média amostral, talpha/2 é o valor crítico da distribuição t de Student correspondente ao nível de confiança desejado, s é o desvio padrão amostral e n é o tamanho da amostra.

Passo 3

Como o tamanho da amostra é n=41, que é maior que 30, normalmente poderíamos usar a distribuição normal (z). No entanto, como estamos usando o desvio padrão amostral s ao invés do desvio padrão populacional sigma, é mais apropriado utilizar a distribuição t de Student. Isso porque a distribuição t leva em conta a incerteza adicional da estimativa de s.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor crítico talpha/2 para um nível de confiança de 95%. O nível de confiança de 95% significa que alpha = 0,05, então alpha/2 = 0,025. Com n-1 = 40 graus de liberdade, consultando uma tabela t ou usando uma calculadora, encontramos que:
t0,025 approx 2,021

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o erro padrão da média, que é dado por:
sraizn = 4,9raiz41 approx 4,96,403 approx 0,764 kg

Passo 6

Agora, multiplicamos o valor crítico t0,025 pelo erro padrão para encontrar a margem de erro:
2,021 times 0,764 approx 1,542 kg

Passo 7

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da média amostral:
3,0 kg pm 1,542 kg
Isso resulta em:
(3,0 - 1,542, 3,0 + 1,542) Rightarrow (1,458 kg, 4,542 kg)

Resposta

O intervalo de confiança para a média populacional mu com 95% de confiança é aproximadamente (1,46 kg, 4,54 kg).

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