Nos itens abaixo, encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais \left\{s_{n}\right\}. Após isso, usando algum dos métodos para análise de séries numéricas, determine também se a série infinita é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \ln \left(\frac{1}{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais \{s_n\} da série \sum_{n=1}^{\infty} \ln\!\left(\frac{1}{n}\right); (2) determinar se a série infinita é convergente ou divergente e, se convergente, dar a soma.
Informações dadas diretamente pelo enunciado:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_n=\ln\!\left(\frac{1}{n}\right).
  • A sequência de somas parciais é dada por \displaystyle s_n=\sum_{k=1}^{n}\ln\!\left(\frac{1}{k}\right).

Passo 2

Vamos calcular explicitamente as quatro primeiras somas parciais pela definição \displaystyle s_n=\sum_{k=1}^{n}\ln\!\left(\frac{1}{k}\right).
Calcule s_1:
s_1=\ln\!\left(\frac{1}{1}\right)=\ln(1)=0.
Calcule s_2:
s_2=\ln\!\left(\frac{1}{1}\right)+\ln\!\left(\frac{1}{2}\right)=0+\ln\!\left(\frac{1}{2}\right)=\ln\!\left(\frac{1}{2}\right)=-\ln 2.
Calcule s_3:
s_3=\ln\!\left(\frac{1}{1}\right)+\ln\!\left(\frac{1}{2}\right)+\ln\!\left(\frac{1}{3}\right)=\ln\!\left(\frac{1}{2\cdot 3}\right)=\ln\!\left(\frac{1}{6}\right)=-\ln 6.
Calcule s_4:
s_4=\ln\!\left(\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4}\right)=\ln\!\left(\frac{1}{24}\right)=-\ln 24.

Passo 3

Generalizando e explicando a ferramenta usada (uma mini-aula sobre logaritmos e produtos):
Propriedade usada: para números positivos x_1,\dots,x_n vale
\ln(x_1)+\ln(x_2)+\cdots+\ln(x_n)=\ln\big(x_1x_2\cdots x_n\big).
Aqui aplicamos com x_k=\dfrac{1}{k}, então
s_n=\sum_{k=1}^{n}\ln\!\left(\frac{1}{k}\right)=\ln\!\left(\prod_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\right)=\ln\!\left(\frac{1}{n!}\right)=-\ln(n!).
Isso dá uma fórmula fechada bem prática para as somas parciais: \displaystyle s_n=-\ln(n!).

Passo 4

Agora vamos analisar a convergência da série. Lembrete de teste fundamental: se uma série \sum a_n converge então necessariamente o termo geral \,a_n\to 0 quando n\to\infty. Esse é o teste necessário (teste do termo geral).
No nosso caso o termo geral é
a_n=\ln\!\left(\frac{1}{n}\right)=-\ln n.
Como \ln n\to+\infty quando n\to\infty, temos \,a_n=-\ln n\to -\infty, em particular a_n não tende a 0. Pelo teste do termo geral, a série não pode convergir. Portanto a série diverge.

Passo 5

Para reforçar (e mostrar comportamento das somas parciais), vejamos o comportamento de s_n=-\ln(n!) quando n\to\infty. Mostro que \ln(n!)\to+\infty, logo s_n\to -\infty.
Argumento simples de estimativa: para n\ge 2 considere os últimos \lfloor n/2\rfloor fatores de n!,
cada um deles é ao menos \dfrac{n}{2}. Assim
n! \ge \left(\frac{n}{2}\right)^{\frac{n}{2}}
(para n par; para n ímpar a ideia é análoga). Aplicando logaritmo:
\ln(n!) \ge \frac{n}{2}\ln\!\left(\frac{n}{2}\right).
O lado direito tende a +\infty quando n\to\infty, logo \ln(n!)\to+\infty e portanto
s_n=-\ln(n!)\to -\infty.
Isso confirma que as somas parciais não se aproximam de um número finito; elas divergem para -\infty.

Resposta

\;s_1=0
\;s_2=-\ln 2
\;s_3=-\ln 6
\;s_4=-\ln 24
A série diverge (as somas parciais satisfazem \;s_n=-\ln(n!)\to -\infty, portanto não há soma finita).

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