Nos itens abaixo, encontre os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais
. Após isso, usando algum dos métodos para análise de séries numéricas, determine também se a série infinita é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais
da série
; (2) determinar se a série infinita é convergente ou divergente e, se convergente, dar a soma.
Informações dadas diretamente pelo enunciado:
Informações dadas diretamente pelo enunciado:
- O termo geral da série é
. - A sequência de somas parciais é dada por
.
Passo 2
Vamos calcular explicitamente as quatro primeiras somas parciais pela definição
.
Calcule
:
Calcule
:
Calcule
:
Calcule
:
Passo 3
Generalizando e explicando a ferramenta usada (uma mini-aula sobre logaritmos e produtos):
Propriedade usada: para números positivos
vale
Aqui aplicamos com
, então
Isso dá uma fórmula fechada bem prática para as somas parciais:
.
Passo 4
Agora vamos analisar a convergência da série. Lembrete de teste fundamental: se uma série
converge então necessariamente o termo geral
quando
. Esse é o teste necessário (teste do termo geral).
No nosso caso o termo geral é
Como
quando
, temos
, em particular
não tende a
. Pelo teste do termo geral, a série não pode convergir. Portanto a série diverge.
Passo 5
Para reforçar (e mostrar comportamento das somas parciais), vejamos o comportamento de
quando
. Mostro que
, logo
.
Argumento simples de estimativa: para
considere os últimos
fatores de
,
cada um deles é ao menos . Assim
cada um deles é ao menos
(para
par; para
ímpar a ideia é análoga). Aplicando logaritmo:
O lado direito tende a
quando
, logo
e portanto
Isso confirma que as somas parciais não se aproximam de um número finito; elas divergem para
.
Resposta
A série diverge (as somas parciais satisfazem