Nos itens abaixo, esboce, descreva e classifique as regiões de integração.
-1 <= x <= 2, x-1 <= y <= x^2

Passo 1

O enunciado define a região do plano por
-1<= x<= 2 e x-1<= y<= x^2. O conteúdo envolve geometria analítica de regiões de integração e classificação como região elementar (tipo I ou II). Vamos desenhar as curvas y=x-1, y=x^2 e as retas verticais x=-1, x=2, descrever D analiticamente e verificar se é região do tipo I e/ou II.

Passo 2

Esboce o sistema de eixos. A reta y=x-1 passa por (-1,-2) e (1,0), a parábola y=x^2 tem vértice em (0,0). Trace também as retas verticais x=-1 e x=2. A região D fica entre essas quatro curvas.

Passo 3

Analiticamen
te, escrevemos
D=(x,y)in R^2:,-1<= x<=2,;x-1<= y<= x^2
Em cada abscissa xin[-1,2], a ordenada y varia de yrm inf=x-1 até yrm sup=x^2.

Passo 4

Para a classificação tipo I basta notar que D é verticamente simples: a descrição acima já mostra -1<= x<=2 e x-1<= y<= x^2. Logo, D é região elementar do tipo I.

Passo 5

Como tipo II (horizontal), primeiro achamos o mínimo de y em D, que é -2 (em x=-1), e o máximo, que é 4 (em x=2). Para cada y em [-2,4] resolvemos
x-1<= y<= x^2
Isso leva a duas faixas de y:
- Se -2<= y<=1, então x^2>= y vale para todo xin[-1,2] e a desigualdade x-1<= y vira x<= y+1. Assim xin[-1,,y+1].
- Se 1<= y<=4, só resta x^2>= y com xin[raiz y,2] e também x<= y+1, mas para y+1>=2 isso é automático. Então xin[raiz y,2].
Portanto, como tipo II, D exige partição em y=1, mas é elementar.

Resposta

A região é
defined by
D=(x,y):-1<= x<=2,;x-1<= y<= x^2,
between the line y=x-1, parabola y=x^2 and the vertical lines x=-1, x=2. It is a region elementar do tipo I. As tipo II, ela se descreve em duas faixas:
-2<= y<=1:;xin[-1,y+1] e 1<= y<=4:;xin[raiz y,2].

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