Nos problemas 17-22, resolva o problema de valor inicial.
d yd x+3 yx+2=3 x, y(1)=1

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
dydx+3yx+2=3x, y(1)=1
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma
dydx+P(x),y=Q(x),
onde P(x)=tfrac3x e Q(x)=3x-2. Vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Colocamos a equação em forma padrão
dydx+3xy=3x-2

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x)=expl(integral P(x),dxr) =expl(integral tfrac3x,dxr) =exp(3ln x) =x^3,
válido para x>0.

Passo 4

Multiplicamos a equação por mu(x)=x^3, obtendo
x^3dydx+3x^2y =ddxl(x^3yr) =(3x-2)x^3 =3x^4-2x^3
Agora integramos ambos os lados:
integral dl(x^3yr) =integrall(3x^4-2x^3r),dx Longrightarrow x^3y =35x^5-24x^4+C =35x^5-12x^4+C

Passo 5

Isolamos y:
y =35x^2-12x+Cx^-3

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(1)=1:
1 =35cdot1^2-12cdot1+Ccdot1^-3 =35-12+C =6-510+C =110+C ;Longrightarrow; C=910

Passo 7

Substituindo C=tfrac910 na solução geral, obtemos
y(x) =35x^2-12x+910x^-3

Resposta

boxedy(x)=35x^2-12x+910x^3

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