Nos problemas 17-22, resolva o problema de valor inicial.
sen x d yd x+y cos x=x sen x, y(pi2)=2

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
sin x,dydx+ycos x = xsin x, y!l(tfracpi2r)=2
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Escrevendo em forma padrão, dividimos por sin x (para xneq kpi):
dydx + ycot x = x

Passo 3

O fator integrante mu(x) satisfaz
mu(x) = exp!l(integral cot x,dxr) = expl(ln|sin x|r) = sin x

Passo 4

Multiplicando a forma padrão por mu(x)=sin x, obtemos
sin x,dydx + ycos x = xsin x,
e o lado esquerdo é justamente
ddxl(ysin xr)
Logo
ddxl(ysin xr) = xsin x
Integramos ambos os lados:
ysin x = integral xsin x,dx + C
Para calcular integral xsin x,dx, use integração por partes com u=x, dv=sin x,dx:
integral xsin x,dx = -xcos x + integral cos x,dx = -xcos x + sin x
Assim
ysin x = -xcos x + sin x + C Longrightarrow y = -xcot x + 1 + C,csc x

Passo 5

Usamos a condição inicial y(tfracpi2)=2. Como cot(tfracpi2)=0 e csc(tfracpi2)=1,
2 = -tfracpi2cdot 0 + 1 + Ccdot1 Longrightarrow C = 1

Resposta

y(x) = -xcot x + 1 + csc x

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