Nos itens abaixo, escreva, se possível, os vetores e como combinação linear dos vetores em S : e e
Passo 1
O enunciado pede para ver se os vetores e pertencem ao espaço gerado por
Isso significa resolver, para cada caso, um sistema
isto é, verificar se há solução e, se houver, encontrar .
Passo 2
Para , escrevemos
Isso gera o sistema de três equações:
Divide a primeira por 2 e reescreve a segunda:
a + b + c = -tfrac12, 4b -12c = 5, 7a+5b+13c = -6
Passo 3
Subtraindo 7 vezes a primeira equação da terceira, nota-se que ela se reduz exatamente à segunda, então o sistema tem infinitas soluções. Tomamos c=0 para achar uma solução simples. Da segunda equação:
4b = 5 Longrightarrow b = tfrac54
Da primeira:
a = -tfrac12 - b - c = -tfrac12 - tfrac54 - 0 = -tfrac72 = -tfrac72(mas note que dividimos a eq por 2, portanto);a=-tfrac74
Logo uma combinação é
u = -tfrac74,(2,0,7) ;+;tfrac54,(2,4,5);+;0,(2,-12,13)
Passo 4
Para
Convertendo como antes, chega-se a duas equações incompatíveis:
Como .
Resposta
u = -tfrac74,(2,0,7) + tfrac54,(2,4,5).
O vetor v não pode ser escrito como combinação linear de S.