Nos itens abaixo, escreva, se possível, os vetores u e v como combinação linear dos vetores em S :
u=(-1,5,-6) e v=(-3,15,18) e S=(2,0,7),(2,4,5),(2,-12,13)

Passo 1

O enunciado pede para ver se os vetores ,u=(-1,5,-6) e ,v=(-3,15,18) pertencem ao espaço gerado por
S=,s1=(2,0,7),;s2=(2,4,5),;s3=(2,-12,13)
Isso significa resolver, para cada caso, um sistema
a,s1 + b,s2 + c,s3 = vetor dado,
isto é, verificar se há solução e, se houver, encontrar ,a,b,c.

Passo 2

Para u, escrevemos
a(2,0,7) + b(2,4,5) + c(2,-12,13) = (-1,5,-6)
Isso gera o sistema de três equações:
2a + 2b + 2c = -1, 0cdot a + 4b -12c = 5, 7a +5b +13c = -6
Divide a primeira por 2 e reescreve a segunda:
a + b + c = -tfrac12, 4b -12c = 5, 7a+5b+13c = -6

Passo 3

Subtraindo 7 vezes a primeira equação da terceira, nota-se que ela se reduz exatamente à segunda, então o sistema tem infinitas soluções. Tomamos c=0 para achar uma solução simples. Da segunda equação:
4b = 5 Longrightarrow b = tfrac54
Da primeira:
a = -tfrac12 - b - c = -tfrac12 - tfrac54 - 0 = -tfrac72 = -tfrac72(mas note que dividimos a eq por 2, portanto);a=-tfrac74
Logo uma combinação é
u = -tfrac74,(2,0,7) ;+;tfrac54,(2,4,5);+;0,(2,-12,13)

Passo 4

Para
Convertendo como antes, chega-se a duas equações incompatíveis:
Como .

Resposta

u = -tfrac74,(2,0,7) + tfrac54,(2,4,5).
O vetor v não pode ser escrito como combinação linear de S.

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