Nos itens abaixo, escreva, se possível, os vetores u e v como combinação linear dos vetores em S :
u=(-1,-2,2) e v=(1,1,-1) e S=(2,-1,3),(5,0,4)

Passo 1

O enunciado pede expressar os vetores u=(-1,-2,2) e v=(1,1,-1) como combinação linear dos vetores de
S=(2,-1,3),,(5,0,4)
O conteúdo é combinação linear em R^3, ou seja, para cada vetor w devemos achar escalares a,b tais que
w = a,(2,-1,3) + b,(5,0,4)

Passo 2

Para u assumimos
u = a,(2,-1,3) + b,(5,0,4),
o que gera o sistema
2a + 5b = -1, -a = -2, 3a + 4b = 2

Passo 3

Da segunda equação segue
-a = -2 implies a = 2
Substituindo em 2a + 5b = -1 vem
4 + 5b = -1 implies 5b = -5 implies b = -1
Verificando na terceira:
3cdot 2 + 4cdot(-1) = 6 - 4 = 2,
consistente com o sistema. Logo
u = 2,(2,-1,3) - 1,(5,0,4)

Passo 4

Para v fazemos o mesmo:
v = a,(2,-1,3) + b,(5,0,4),
levando ao sistema
2a + 5b = 1, -a = 1, 3a + 4b = -1

Passo 5

Da segunda equação obtemos
-a = 1 implies a = -1
Substituindo na primeira:
2(-1) + 5b = 1 implies -2 + 5b = 1 implies 5b = 3 implies b = tfrac35
Mas na terceira ficamos com
3(-1) + 4cdottfrac35 = -3 + tfrac125 = -tfrac35 neq -1,
logo não há a,b que satisfaçam todas as equações simultaneamente.

Resposta

u = 2,(2,-1,3) - 1,(5,0,4)
v não pode ser escrito como combinação linear dos vetores de S.

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