Seja
uma transformação linear entre os espaços vetoriais
e
. Suponha que
seja subespaço de
. Mostre que
é subespaço vetorial de
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma transformação linear
e um subespaço
. Definimos
O objetivo é mostrar que
é subespaço de
, ou seja, que (i)
, (ii)
é fechado sob soma e (iii)
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Provar que
. Como
é linear, temos
E como
é subespaço de
, também
. Logo
, isto é,
.
Passo 3
Provar que
é fechado sob soma. Sejam
. Então por definição
e
. Como
é subespaço,
Mas pela linearidade de
vale
então
. Isso mostra
.
Passo 4
Provar que
é fechado sob multiplicação escalar. Seja
escalar e
. Então
e, por ser
subespaço,
Pela linearidade de
temos
logo
e
.
Resposta
Portanto,
satisfaz (i)–(iii) e, consequentemente, é subespaço vetorial de
.