Seja T: E F uma transformação linear entre os espaços vetoriais E e F. Suponha que S subset F seja subespaço de F. Mostre que H=v in E mid T v in S é subespaço vetorial de E.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma transformação linear T: E to F e um subespaço S subset F. Definimos
H = v in E mid T(v)in S
O objetivo é mostrar que H é subespaço de E, ou seja, que (i) 0Ein H, (ii) H é fechado sob soma e (iii) H é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Provar que 0Ein H. Como T é linear, temos
T(0E)=0F
E como S é subespaço de F, também 0Fin S. Logo T(0E)in S, isto é, 0Ein H.

Passo 3

Provar que H é fechado sob soma. Sejam u,vin H. Então por definição T(u)in S e T(v)in S. Como S é subespaço,
T(u)+T(v)in S
Mas pela linearidade de T vale
T(u+v)=T(u)+T(v),
então T(u+v)in S. Isso mostra u+vin H.

Passo 4

Provar que H é fechado sob multiplicação escalar. Seja alpha escalar e vin H. Então T(v)in S e, por ser S subespaço,
alpha,T(v)in S
Pela linearidade de T temos
T(alpha v)=alpha,T(v),
logo T(alpha v)in S e alpha vin H.

Resposta

Portanto, H satisfaz (i)–(iii) e, consequentemente, é subespaço vetorial de E.

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