Nos itens abaixo interprete z_{1} e z_{2} como vetores.
Sejam z_{1}=4-3 i, z_{2}=-2+3 i. Desenhe 2 z_{1}+4 z_{2}, z_{1}-z_{2}.

Passo 1

O enunciado dá os dois números complexos (que vamos tratar como vetores no plano):
z_{1}=4-3 i,\qquad z_{2}=-2+3 i.
O que se pede: desenhar os vetores correspondentes a
2 z_{1}+4 z_{2}
e
z_{1}-z_{2}.
Aqui vou primeiro transformar e calcular os vetores (componentes), depois explicar como desenhá‑los passo a passo.

Passo 2

Como representar complexos como vetores (aulas rápidas e práticas).
  • Qualquer número complexo \,a+bi\, corresponde ao vetor com coordenadas (a,b) no plano cartesiano: a parte real é a coordenada x e a parte imaginária é a coordenada y.
  • Adição de complexos corresponde à soma componente a componente de vetores:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\quad\Longleftrightarrow\quad (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).
  • Multiplicação por escalar k\in\mathbb{R} multiplica cada componente:
k(a+bi)=(ka)+(kb)i\quad\Longleftrightarrow\quad k\cdot(a,b)=(ka,kb).
Esses dois fatos bastam para calcular e desenhar os vetores pedidos.

Passo 3

Calcular 2 z_{1}. Multiplicação por escalar:
2 z_{1}=2(4-3i)=8-6i.
Como vetor isso é (8,-6).

Passo 4

Calcular 4 z_{2}. Multiplicação por escalar:
4 z_{2}=4(-2+3i)=-8+12i.
Como vetor isso é (-8,12).

Passo 5

Somar 2 z_{1} e 4 z_{2} componente a componente:
2 z_{1}+4 z_{2}=(8-6i)+(-8+12i)=(8-8)+(-6+12)i=0+6i.
Portanto, como vetor:
2 z_{1}+4 z_{2}=(0,6).
Observação bonita: as componentes reais se cancelaram, ficando um vetor puramente imaginário (apenas vertical).

Passo 6

Calcular z_{1}-z_{2} componente a componente:
z_{1}-z_{2}=(4-3i)-(-2+3i)=(4+2)+(-3-3)i=6-6i.
Como vetor:
z_{1}-z_{2}=(6,-6).

Passo 7

Calcular módulos (útil para desenhar com escala) e direções:
  • Para 2 z_{1}+4 z_{2}=(0,6):
\text{módulo}=\sqrt{0^{2}+6^{2}}=6,ó
direção: eixo y positivo (ângulo \tfrac{\pi}{2} rad ou 90^\circ).
  • Para z_{1}-z_{2}=(6,-6):
\text{módulo}=\sqrt{6^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{36+36}=\sqrt{72}=6\sqrt{2},ó
direção: vetor passando por (6,-6), ou seja, reta com inclinação -1; ângulo -\tfrac{\pi}{4} rad (ou -45^\circ).

Passo 8

Instruções práticas para desenhar (faça assim na prova, sem complicação):
  1. Desenhe eixos cartesianos com origem O=(0,0). Marque a escala: cada unidade no eixo x e y como 1.
  2. Desenhe o vetor 2 z_{1}+4 z_{2}=(0,6):
    • Parta de O e trace uma seta até o ponto (0,6) (seis unidades para cima no eixo y). Rotule a ponta com 2z_{1}+4z_{2} ou com 6i.
  3. Desenhe o vetor z_{1}-z_{2}=(6,-6):
    • Parta de O e trace uma seta até o ponto (6,-6) (seis unidades para a direita e seis para baixo). Rotule a ponta com z_{1}-z_{2} ou com 6-6i.
  4. Se quiser evidenciar o ângulo, desenhe linhas de referência: o primeiro vetor fica sobre o eixo y; o segundo forma 45^\circ abaixo do eixo x (reta com inclinação -1).
  5. Se faltar espaço na folha, use escala reduzida (por exemplo, 1 unidade = 0,5 cm) — só mantenha a mesma escala nos dois eixos.

Passo 9

Resumo final dos resultados em forma de complexos e coordenadas (para conferir rapidamente):
2 z_{1}+4 z_{2}=0+6i\quad\text{(vetor }(0,6)\text{)},
z_{1}-z_{2}=6-6i\quad\text{(vetor }(6,-6)\text{)}.

Resposta

2 z_{1}+4 z_{2}=6i
z_{1}-z_{2}=6-6i

Exercícios relacionados