Nos itens abaixo, resolva a EDO de 1a ordem dada, utilizando séries de potências. Quando possível, identifique as funções elementares que correspondem a tais séries.
(1-x) y^{\prime}(x)=y(x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
(1-x)\,y'(x)=y(x)
e pede para resolvê-la usando séries de potências. Também é solicitado, quando possível, identificar a função elementar correspondente à série obtida. Não há condições iniciais fornecidas, então busca-se a solução geral (com uma constante arbitrária). Vou trabalhar em torno de x=0 (série centrada em 0).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática curta e intuitiva):
  • Procuramos uma solução na forma de série de potências centrada em 0:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n,
onde os a_n são coeficientes desconhecidos que vamos determinar.
  • A derivada seria a série termoposterior:
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}.
  • Substituímos essas séries na EDO e igualamos coeficientes de potências de x para obter uma relação de recorrência entre os a_n. Essa é a regra padrão para resolver EDOs por séries: coerência termo a termo.

Passo 3

Substituição direta em (1-x)y'=y. Primeiro escrevo as duas partes:
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}, \qquad x\,y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n}.
Logo
(1-x)y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} - \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n}.
A equação (1-x)y'=y fica então
\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} - \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n.

Passo 4

Alinhar todas as somas com a mesma potência de x. No primeiro somatório faço m=n-1 (ou simplesmente renomeio o índice) para obter potências x^m começando em m=0:
\sum_{n=0}^{\infty} (n+1) a_{n+1} x^{n} - \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n.
Agora tratamos o termo constante ( x^0) e os coeficientes para x^n com n\ge 1 separadamente.
Para n=0 (termo constante):
(0+1)a_{1} = a_0 \quad\Rightarrow\quad a_1 = a_0.
Para n\ge 1: coletando coeficientes de x^n temos
(n+1)a_{n+1} - n a_n = a_n.
Reorganizando:
(n+1)a_{n+1} = (n+1)a_n \quad\Rightarrow\quad a_{n+1} = a_n \quad\text{para } n\ge 1.

Passo 5

Da relação de recorrência obtida temos a_{n+1}=a_n para todo n\ge 0 (pois já vimos a_1=a_0). Isso implica que todos os coeficientes são iguais à mesma constante inicial:
a_n = a_0\quad\text{para todo } n\ge 0.
Assim a série solução é
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_0 x^n = a_0\sum_{n=0}^{\infty} x^n.

Passo 6

Reconhecendo a série geométrica: para |x|<1 vale a soma conhecida
\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}.
Portanto, a solução obtida pela série é
y(x)=a_0\,\frac{1}{1-x}.
Renomeando a constante arbitrária a_0 por C, a solução geral é
y(x)=\frac{C}{1-x},\qquad |x|<1.
Observações didáticas rápidas: a série teve raio de convergência 1 porque é a série geométrica; a solução elementar y=\dfrac{C}{1-x} é definida para x\neq 1 e a série centrada em 0 representa essa solução no intervalo |x|<1. Dá para verificar diretamente na EDO: y' = \dfrac{C}{(1-x)^2} e (1-x)y' = \dfrac{C}{1-x} = y, confirmando que a solução é correta.

Resposta

y(x)=\frac{C}{1-x},\qquad |x|<1

Exercícios relacionados