Nos itens abaixo, resolva a EDO de 1a ordem dada, utilizando séries de potências. Quando possível, identifique as funções elementares que correspondem a tais séries.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para resolvê-la usando séries de potências. Também é solicitado, quando possível, identificar a função elementar correspondente à série obtida. Não há condições iniciais fornecidas, então busca-se a solução geral (com uma constante arbitrária). Vou trabalhar em torno de
(série centrada em
).
Passo 2
Ideia do método (explicação didática curta e intuitiva):
- Procuramos uma solução na forma de série de potências centrada em
:
onde os
são coeficientes desconhecidos que vamos determinar.
- A derivada seria a série termoposterior:
- Substituímos essas séries na EDO e igualamos coeficientes de potências de
para obter uma relação de recorrência entre os . Essa é a regra padrão para resolver EDOs por séries: coerência termo a termo.
Passo 3
Substituição direta em
. Primeiro escrevo as duas partes:
Logo
A equação
fica então
Passo 4
Alinhar todas as somas com a mesma potência de
. No primeiro somatório faço
(ou simplesmente renomeio o índice) para obter potências
começando em
:
Agora tratamos o termo constante (
) e os coeficientes para
com
separadamente.
Para
(termo constante):
Para
: coletando coeficientes de
temos
Reorganizando:
Passo 5
Da relação de recorrência obtida temos
para todo
(pois já vimos
). Isso implica que todos os coeficientes são iguais à mesma constante inicial:
Assim a série solução é
Passo 6
Reconhecendo a série geométrica: para
vale a soma conhecida
Portanto, a solução obtida pela série é
Renomeando a constante arbitrária
por
, a solução geral é
Observações didáticas rápidas: a série teve raio de convergência
porque é a série geométrica; a solução elementar
é definida para
e a série centrada em
representa essa solução no intervalo
. Dá para verificar diretamente na EDO:
e
, confirmando que a solução é correta.