Nos itens abaixo, seja h: A subset R^2 R definida pela composta h:=g circ f, onde f: B subset R^2 R e g: C subset R R. Encontre a expressão de h e o conjunto onde ela é contínua.
f(x, y)=x+g(y), g(t)=t^2+1

Passo 1

O enunciado pede a função composta h=gcirc f, onde
  • fcolon BsubsetR^2toR é dada por f(x,y)=x+g(y),
  • gcolon CsubsetRtoR é dada por g(t)=t^2+1
Queremos encontrar a expressão explícita de h(x,y) e o conjunto AsubsetR^2 onde h é contínua.

Passo 2

Primeiro, usamos a definição de g para reescrever f. Como g(y)=y^2+1, então
f(x,y)=x+g(y)=x+y^2+1

Passo 3

Agora aplicamos g sobre f(x,y). Por definição
h(x,y)=gl(f(x,y)r)
substituindo f(x,y)=x+y^2+1 e g(t)=t^2+1, resulta

Passo 4

h(x,y)=l(x+y^2+1r)^2+1

Passo 5

O domínio natural da composição é
A=l(x,y)in B:;f(x,y)in Cr =l(x,y)in B:;x+y^2+1in Cr

Passo 6

Como g(t)=t^2+1 é contínua em todo C e f(x,y)=x+y^2+1 é polinomial (logo contínua) em todo B, a composição h é contínua em
A=(x,y)in Bmid x+y^2+1in C

Resposta

h(x,y)=(x+y^2+1)^2+1, contínua em
A=(x,y)in Bmid x+y^2+1in C
Se B=R^2 e C=R, então A=R^2 e h é contínua em todo R^2.

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