Nos itens abaixo, verifique se a sequência dada é monótona, se é limitada e se é convergente
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar três coisas sobre a sequência
:
- Monotonia: se a sequência está sempre aumentando ou sempre diminuindo.
- Limitação: se a sequência tem valores máximos e mínimos, ou seja, se está “limitada”.
- Convergência: se a sequência se aproxima de um valor específico quando
cresce muito.
Para resolver isso, precisamos entender algumas ideias básicas de sequências numéricas e como analisar o comportamento delas conforme
aumenta.
Passo 2
Vamos começar verificando se a sequência é monótona, ou seja, se ela está sempre aumentando ou sempre diminuindo.
Para isso, vamos comparar o termo geral
com o próximo termo
. Se
para todo
, a sequência é crescente. Se
, é decrescente.
Calculando
:
Agora, vamos comparar
com
:
Para facilitar a comparação, podemos encontrar um denominador comum e simplificar a expressão:
Expandindo os termos:
Como o numerador
é sempre positivo e o denominador
também é positivo para todo
, a diferença
é positiva. Isso significa que
para todo
, ou seja, a sequência é crescente.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Isso quer dizer que existe um valor máximo e um mínimo que a sequência não ultrapassa.
Para sequências racionais como
, podemos analisar os limites quando
cresce muito. Vamos observar o comportamento de
quando
tende ao infinito.
Dividindo numerador e denominador por
:
Quando
fica muito grande,
e
tendem a zero. Então, temos:
Isso indica que a sequência está se aproximando de
e, por ser crescente e tender a
, ela está limitada acima por
. O menor valor ocorre quando
:
Portanto, a sequência é limitada entre
e
.
Passo 4
Finalmente, vamos determinar se a sequência é convergente. Uma sequência é convergente se ela tende a um valor específico quando
cresce sem limites.
Já vimos no Passo 3 que:
Isso significa que a sequência
se aproxima cada vez mais de
à medida que
aumenta. Portanto, a sequência é convergente e converge para
.
Resposta
A sequência
é monótona crescente, limitada entre
e
, e convergente para o valor
.