Nos itens abaixo, verifique se a sequência dada é monótona, se é limitada e se é convergente
(a) an=3 n-14 n+5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar três coisas sobre a sequência an = 3n - 14n + 5 :
  1. Monotonia: se a sequência está sempre aumentando ou sempre diminuindo.
  2. Limitação: se a sequência tem valores máximos e mínimos, ou seja, se está “limitada”.
  3. Convergência: se a sequência se aproxima de um valor específico quando n cresce muito.
Para resolver isso, precisamos entender algumas ideias básicas de sequências numéricas e como analisar o comportamento delas conforme n aumenta.

Passo 2

Vamos começar verificando se a sequência é monótona, ou seja, se ela está sempre aumentando ou sempre diminuindo.
Para isso, vamos comparar o termo geral an com o próximo termo an+1 . Se an+1 > an para todo n , a sequência é crescente. Se an+1 < an , é decrescente.
Calculando an+1 :
an+1 = 3(n+1) - 14(n+1) + 5 = 3n + 3 - 14n + 4 + 5 = 3n + 24n + 9
Agora, vamos comparar an+1 com an :
3n + 24n + 9 - 3n - 14n + 5
Para facilitar a comparação, podemos encontrar um denominador comum e simplificar a expressão:
(3n + 2)(4n + 5) - (3n - 1)(4n + 9)(4n + 9)(4n + 5)
Expandindo os termos:
12n^2 + 15n + 8n + 10 - (12n^2 + 27n - 4n - 9)(4n + 9)(4n + 5) = 12n^2 + 23n + 10 - 12n^2 - 23n + 9(4n + 9)(4n + 5) = 19(4n + 9)(4n + 5)
Como o numerador 19 é sempre positivo e o denominador (4n + 9)(4n + 5) também é positivo para todo n , a diferença an+1 - an é positiva. Isso significa que an+1 > an para todo n , ou seja, a sequência é crescente.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Isso quer dizer que existe um valor máximo e um mínimo que a sequência não ultrapassa.
Para sequências racionais como an = 3n - 14n + 5 , podemos analisar os limites quando n cresce muito. Vamos observar o comportamento de an quando n tende ao infinito.
Dividindo numerador e denominador por n :
an = 3 - 1n4 + 5n
Quando n fica muito grande, 1n e 5n tendem a zero. Então, temos:
limn to infty an = 34
Isso indica que a sequência está se aproximando de 34 e, por ser crescente e tender a 34 , ela está limitada acima por 34 . O menor valor ocorre quando n = 1 :
a1 = 3(1) - 14(1) + 5 = 29
Portanto, a sequência é limitada entre 29 e 34 .

Passo 4

Finalmente, vamos determinar se a sequência é convergente. Uma sequência é convergente se ela tende a um valor específico quando n cresce sem limites.
Já vimos no Passo 3 que:
limn to infty an = 34
Isso significa que a sequência an se aproxima cada vez mais de 34 à medida que n aumenta. Portanto, a sequência é convergente e converge para 34 .

Resposta

A sequência an = 3n - 14n + 5 é monótona crescente, limitada entre 29 e 34 , e convergente para o valor 34 .

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