Sabe-se que o plano é gerado pela base . Determine a distância que o ponto está do plano .
(a) 16
(b)
(c)
(d) 2
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de geometria analítica envolvendo planos no espaço tridimensional. O enunciado diz que o plano é gerado pela base e queremos descobrir qual a distância do ponto até esse plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a distância de um ponto a um plano usando vetores e produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar uma equação vetorial para o plano . Sabemos que o plano é gerado pelos vetores e . Podemos usar esses vetores para determinar um vetor normal ao plano através do produto vetorial.
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial dos vetores da base :
Então, o vetor normal ao plano alpha é n = (2, 1, 3).
Passo 4
Com o vetor normal n = (2, 1, 3), podemos escrever a equação geral do planoalpha. Para isso, precisamos de um ponto que pertence ao plano. Como a base B está no plano, podemos usar o ponto de origem (0, 0, 0) como referência.
A equação do plano é dada por:
2x + y + 3z = 0
Passo 5
Agora, para encontrar a distância do ponto A(4, -1, 3) até o plano alpha, usamos a fórmula da distância de um ponto (x0, y0, z0) a um plano Ax + By + Cz + D = 0:
d = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
No nosso caso, A = 2, B = 1, C = 3, e D = 0. O ponto é (4, -1, 3).