8^ a Questão

Sabe-se que o plano alpha é gerado pela base B=[(1,-2,0),(1,1,-1)]. Determine a distância que o ponto A(4,-1,3) está do plano alpha.
(a) 16
(b) 8 raiz147
(c) raiz14
(d) 2
(e) raiz147

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de geometria analítica envolvendo planos no espaço tridimensional. O enunciado diz que o plano alpha é gerado pela base B = [(1, -2, 0), (1, 1, -1)] e queremos descobrir qual a distância do ponto A(4, -1, 3) até esse plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a distância de um ponto a um plano usando vetores e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar uma equação vetorial para o plano alpha. Sabemos que o plano é gerado pelos vetores (1, -2, 0) e (1, 1, -1). Podemos usar esses vetores para determinar um vetor normal ao plano através do produto vetorial.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial dos vetores da base B:
n = i & j & k 1 & -2 & 0 1 & 1 & -1
Expandindo o determinante:
n = i((-2)(-1) - (0)(1)) - j((1)(-1) - (0)(1)) + k((1)(1) - (-2)(1))
n = i(2 - 0) - j(-1 - 0) + k(1 + 2)
n = 2i + j + 3k
Então, o vetor normal ao plano alpha é n = (2, 1, 3).

Passo 4

Com o vetor normal n = (2, 1, 3), podemos escrever a equação geral do plano alpha. Para isso, precisamos de um ponto que pertence ao plano. Como a base B está no plano, podemos usar o ponto de origem (0, 0, 0) como referência.
A equação do plano é dada por:
2x + y + 3z = 0

Passo 5

Agora, para encontrar a distância do ponto A(4, -1, 3) até o plano alpha, usamos a fórmula da distância de um ponto (x0, y0, z0) a um plano Ax + By + Cz + D = 0:
d = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2
No nosso caso, A = 2, B = 1, C = 3, e D = 0. O ponto é (4, -1, 3).

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
d = |2 cdot 4 + 1 cdot (-1) + 3 cdot 3 + 0|raiz2^2 + 1^2 + 3^2
d = |8 - 1 + 9|raiz4 + 1 + 9
d = |16|raiz14 = 16raiz14 = 16 raiz1414 = 8 raiz147

Resposta

A distância do ponto A(4, -1, 3) até o plano alpha é boxeddfrac8 raiz147.

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