7^ a Questão

Sabe-se que os pontos A(-2,1,-3) e B(1,2,-1) formam, com a origem, um triângulo. Calcule a área desse triângulo.
(a) 52
(b) raiz32
(c) 5 raiz32
(d) 152
(e) 15

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de matemática juntos! O problema pede para calcular a área de um triângulo formado pelos pontos A(-2,1,-3) , B(1,2,-1) e a origem O(0,0,0) . Vamos precisar usar conceitos de geometria no espaço tridimensional e o produto vetorial para encontrar a área desse triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que formam os lados do triângulo. Como temos a origem O , os vetores serão OA e OB .
  • Vetor OA : Vai de O(0,0,0) até A(-2,1,-3) , então OA = (-2, 1, -3) .
  • Vetor OB : Vai de O(0,0,0) até B(1,2,-1) , então OB = (1, 2, -1) .

Passo 3

Agora, para encontrar a área do triângulo formado por esses dois vetores, vamos usar o produto vetorial. A fórmula para a área S é:
S = 12 | OA times OB |
Isso significa que precisamos calcular o produto vetorial de OA e OB , depois encontrar o módulo desse vetor resultante e, por fim, multiplicar por 12 .

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial OA times OB . Usamos a seguinte fórmula para o produto vetorial de dois vetores (a1, a2, a3) e (b1, b2, b3) :
OA times OB = ( a2 b3 - a3 b2, a3 b1 - a1 b3, a1 b2 - a2 b1 )
Substituindo os valores:
OA times OB = ( 1 cdot (-1) - (-3) cdot 2, (-3) cdot 1 - (-2) cdot (-1), (-2) cdot 2 - 1 cdot 1 )
Calculando cada componente:
OA times OB = ( -1 + 6, -3 - 2, -4 - 1 ) = (5, -5, -5)

Passo 5

Agora, vamos encontrar o módulo desse vetor resultante OA times OB = (5, -5, -5) :
| OA times OB | = raiz5^2 + (-5)^2 + (-5)^2 = raiz25 + 25 + 25 = raiz75 = 5raiz3

Passo 6

Por fim, aplicamos a fórmula da área:
S = 12 times 5raiz3 = 5raiz32

Resposta

A área do triângulo é 5 raiz32 . A opção correta é a (c).

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