Sabe-se que os pontos e formam, com a origem, um triângulo. Calcule a área desse triângulo.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) 15
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de matemática juntos! O problema pede para calcular a área de um triângulo formado pelos pontos , e a origem . Vamos precisar usar conceitos de geometria no espaço tridimensional e o produto vetorial para encontrar a área desse triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores que formam os lados do triângulo. Como temos a origem , os vetores serão e .
Vetor : Vai de até , então .
Vetor : Vai de até , então .
Passo 3
Agora, para encontrar a área do triângulo formado por esses dois vetores, vamos usar o produto vetorial. A fórmula para a área é:
Isso significa que precisamos calcular o produto vetorial de OA e OB , depois encontrar o módulo desse vetor resultante e, por fim, multiplicar por 12 .
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial OA times OB . Usamos a seguinte fórmula para o produto vetorial de dois vetores (a1, a2, a3) e (b1, b2, b3) :
OA times OB = ( a2 b3 - a3 b2, a3 b1 - a1 b3, a1 b2 - a2 b1 )
Substituindo os valores:
OA times OB = ( 1 cdot (-1) - (-3) cdot 2, (-3) cdot 1 - (-2) cdot (-1), (-2) cdot 2 - 1 cdot 1 )
Calculando cada componente:
OA times OB = ( -1 + 6, -3 - 2, -4 - 1 ) = (5, -5, -5)
Passo 5
Agora, vamos encontrar o módulo desse vetor resultante OA times OB = (5, -5, -5) :
| OA times OB | = raiz5^2 + (-5)^2 + (-5)^2 = raiz25 + 25 + 25 = raiz75 = 5raiz3
Passo 6
Por fim, aplicamos a fórmula da área:
S = 12 times 5raiz3 = 5raiz32
Resposta
A área do triângulo é 5 raiz32 . A opção correta é a (c).