Nos itens abaixo, verifique se a sequência dada é monótona, se é limitada e se é convergente
(b) an=1-2 n^2n^2

Passo 1

Resumindo o enunciado, precisamos analisar se a sequência abaixo é monótona, se é limitada e se converge para algum valor. O conteúdo envolve sequências numéricas, monotonicidade, limites e teoria de convergência. A fórmula geral é:
an = 1 - 2n^2n^2
Vamos usar definições de monotonicidade (comparar an+1 e an), noções de limites e propriedades de limites para soma e produto.

Passo 2

Primeira coisa, simplificar an para facilitar a análise. Ao dividir cada termo por n^2 temos:
an = 1n^2 - 2
Isso mostra que an é obtido somando 1n^2 com -2.

Passo 3

Para verificar monotonicidade, calculamos an+1 - an:
an+1 - an = l(-2 + 1(n+1)^2r) - l(-2 + 1n^2r) = 1(n+1)^2 - 1n^2
Como n+1 > n implica 1(n+1)^2 < 1n^2, a diferença é negativa, então a sequência é decrescente (monótona decrescente).

Passo 4

Usando a forma an = -2 + 1n^2, note que 1n^2>0 para todo n. Logo:
-2 < an < -2 + 1 = -1
Ou seja, a sequência está sempre entre -2 e -1, então é limitada superiormente por -1 e inferiormente por -2.

Passo 5

Para ver se converge, vemos que limntoinfty1n^2 = 0. Usando propriedades de limite (soma com constante), temos:
limntoinftyan = limntoinftyl(-2 + 1n^2r) = -2 + 0 = -2
Portanto, a sequência converge para -2.

Resposta

A sequência é monótona decrescente, limitada entre -2 e -1 e convergente com limite -2.

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