Nos itens abaixo, verifique se a sequência dada é monótona, se é limitada e se é convergente
(b)
(b)
Passo 1
Resumindo o enunciado, precisamos analisar se a sequência abaixo é monótona, se é limitada e se converge para algum valor. O conteúdo envolve sequências numéricas, monotonicidade, limites e teoria de convergência. A fórmula geral é:
Vamos usar definições de monotonicidade (comparar
e
), noções de limites e propriedades de limites para soma e produto.
Passo 2
Primeira coisa, simplificar
para facilitar a análise. Ao dividir cada termo por
temos:
Isso mostra que
é obtido somando
com
.
Passo 3
Para verificar monotonicidade, calculamos
:
Como
implica
, a diferença é negativa, então a sequência é decrescente (monótona decrescente).
Passo 4
Usando a forma
, note que
para todo
. Logo:
Ou seja, a sequência está sempre entre
e
, então é limitada superiormente por
e inferiormente por
.
Passo 5
Para ver se converge, vemos que
. Usando propriedades de limite (soma com constante), temos:
Portanto, a sequência converge para
.
Resposta
A sequência é monótona decrescente, limitada entre
e
e convergente com limite
.