Questão
Calcule
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Resumo do Enunciado: Precisamos calcular a integral definida de
no intervalo de
a
. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição, para resolver essa questão.
Passo 2
Identificando a Substituição: Observamos que a expressão
contém
elevado a uma potência e multiplicado por
. Sabemos que a derivada de
é
, o que sugere que podemos usar a substituição
para simplificar a integral.
Passo 3
Calculando
: Se
, então derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Isso significa que
pode ser substituído por
na integral.
Passo 4
Reescrevendo a Integral em Termos de
: Substituindo
e
na integral original:
Aqui,
vira
.
Passo 5
Integrando em Termos de
: A integral de
em relação a
é:
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos considerar a constante de integração
.
Passo 6
Aplicando os Limites de Integração: Substituímos os limites de
por seus correspondentes em
:
Portanto, a integral se torna:
Passo 7
Calculando os Valores da Integral nos Limites: Substituindo
pelos valores encontrados:
Calculando
:
Portanto:
Resposta
O valor da integral é
, correspondente à opção (c).