6^ a Questão

Calcule integral-pi4^pi2 sen^3(x) cos (x) d x
(a) 12
(b) -14
(c) 316
(d) -12
(e) 14

Passo 1

Resumo do Enunciado: Precisamos calcular a integral definida de sin^3(x) cos(x) no intervalo de -pi4 a pi2. Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição, para resolver essa questão.

Passo 2

Identificando a Substituição: Observamos que a expressão sin^3(x) cos(x) contém sin(x) elevado a uma potência e multiplicado por cos(x). Sabemos que a derivada de sin(x) é cos(x), o que sugere que podemos usar a substituição u = sin(x) para simplificar a integral.

Passo 3

Calculando du: Se u = sin(x), então derivando ambos os lados em relação a x, temos:
du = cos(x) , dx
Isso significa que cos(x) , dx pode ser substituído por du na integral.

Passo 4

Reescrevendo a Integral em Termos de u: Substituindo u e du na integral original:
integral-pi4^pi2 sin^3(x) cos(x) , dx = integralu(-pi4)^u(pi2) u^3 , du
Aqui, sin^3(x) vira u^3.

Passo 5

Integrando em Termos de u: A integral de u^3 em relação a u é:
integral u^3 , du = u^44 + C
Como estamos lidando com uma integral definida, não precisamos considerar a constante de integração C.

Passo 6

Aplicando os Limites de Integração: Substituímos os limites de x por seus correspondentes em u:
u(-pi4) = sin(-pi4) = -raiz22
u(pi2) = sin(pi2) = 1
Portanto, a integral se torna:
[ u^44 ]-raiz22^1

Passo 7

Calculando os Valores da Integral nos Limites: Substituindo u pelos valores encontrados:
1^44 - (-raiz22)^44 = 14 - (raiz22)^44
Calculando (raiz22)^4:
(raiz22)^4 = (raiz2)^42^4 = 416 = 14
Portanto:
14 - 14 cdot 14 = 14 - 116 = 416 - 116 = 316

Resposta

O valor da integral é 316, correspondente à opção (c).

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