Nos itens abaixo, verifique se a sequência dada é monótona, se é limitada e se é convergente
(d)
(d)
Passo 1
Então, resumindo o enunciado: a sequência é
. O assunto aqui é análise de sequências, mais especificamente verificar monotonicidade, se é limitada e se converge. Para isso, vamos precisar simplificar a expressão de
, usar a definição de sequência monótona (testando
), entender o que significa ser limitada e calcular o limite quando
.
Passo 2
Primeiro, simplificamos
para ficar mais fácil de trabalhar.
Passo 3
Passo 4
Para checar monotonicidade, lembramos que se
para todo
, então a sequência é estritamente crescente. Vamos calcular essa diferença:
Passo 5
Passo 6
Desenvolvendo e simplificando, temos
. Como
e
, a diferença é sempre positiva. Logo, a sequência é estritamente crescente.
Passo 7
Para saber se é limitada, usamos a definição: uma sequência é limitada se existe um número
tal que
para todo
. Aqui, como
cresce sem parar (o termo dominante é
), não existe um limite superior
que contenha todos os
. Então, não é limitada.
Passo 8
Por fim, para convergência, uma sequência converge se
existir e for finito. Como
, a sequência não converge (ela diverge para
).
Resposta
A sequência é estritamente crescente, não é limitada (não há limite superior) e não converge (diverge para +∞).