Nos itens abaixo, verifique se a sequência dada é monótona, se é limitada e se é convergente
(d) an=n^3-1n

Passo 1

Então, resumindo o enunciado: a sequência é an = n^3 - 1n. O assunto aqui é análise de sequências, mais especificamente verificar monotonicidade, se é limitada e se converge. Para isso, vamos precisar simplificar a expressão de an, usar a definição de sequência monótona (testando an+1 - an), entender o que significa ser limitada e calcular o limite quando n to infty.

Passo 2

Primeiro, simplificamos an para ficar mais fácil de trabalhar.

Passo 3

an = n^3 - 1n = n^2 - 1n

Passo 4

Para checar monotonicidade, lembramos que se an+1 - an > 0 para todo n, então a sequência é estritamente crescente. Vamos calcular essa diferença:

Passo 5

an+1 - an = (n+1)^2 - 1n+1 ; - ; l(n^2 - 1nr)

Passo 6

Desenvolvendo e simplificando, temos an+1 - an = 2n + 1 + 1n - 1n+1. Como 2n+1>0 e tfrac1n - tfrac1n+1 = tfrac1n(n+1)>0, a diferença é sempre positiva. Logo, a sequência é estritamente crescente.

Passo 7

Para saber se é limitada, usamos a definição: uma sequência é limitada se existe um número M tal que |an| <= M para todo n. Aqui, como an = n^2 - 1/n cresce sem parar (o termo dominante é n^2), não existe um limite superior M que contenha todos os an. Então, não é limitada.

Passo 8

Por fim, para convergência, uma sequência converge se limntoinfty an existir e for finito. Como limntoinfty(n^2 - 1/n) = +infty, a sequência não converge (ela diverge para +infty).

Resposta

A sequência é estritamente crescente, não é limitada (não há limite superior) e não converge (diverge para +∞).

Exercícios relacionados