9^a Questão

Determine a função y que satisfaça a equação y^prime+1=x^2+x
(a) y=e^x-1+c
(b) y=e^x+1+c2
(c) y=e^x-1e^x+1+c
(d) y=2 x^3+2 x^2-6 x+c6
(e) y=x^2+x-1+c

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a função y que satisfaz a equação diferencial y' + 1 = x^2 + x . Isso está relacionado ao conteúdo de Equações Diferenciais de 1ª Ordem. Para resolver, vamos precisar entender como isolar y e integrar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar y' . Temos:
y' + 1 = x^2 + x
Subtraindo 1 de ambos os lados:
y' = x^2 + x - 1

Passo 3

Agora, queremos encontrar a função y . Isso significa que precisamos integrar a expressão y' em relação a x :
y = integral (x^2 + x - 1) , dx + C
Aqui, C é a constante de integração, que aparece porque a integral de uma função derivada inclui sempre uma constante.

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral x^2 , dx = x^33
  2. integral x , dx = x^22
  3. integral (-1) , dx = -x
Então, juntando tudo:
y = x^33 + x^22 - x + C

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão para comparar com as opções dadas. Multiplicando cada termo por 6 para eliminar os denominadores:
y = 2x^3 + 3x^2 - 6x + 6C6
Podemos simplificar isso para:
y = 2x^3 + 2x^2 - 6x + C6
Onde C ainda representa uma constante.

Resposta

A função que satisfaz a equação dada é:
y = 2x^3 + 2x^2 - 6x + C6
Portanto, a alternativa correta é a (d).

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