Nos itens abaixo, verifique se a sequência dada é monótona, se é limitada e se é convergente
(e) an=1n+sen^2(n)

Passo 1

O exercício pede para a gente verificar se a sequência an = 1n + sin^2(n) é monótona, se é limitada e se converge. O conteúdo aqui é teoria de sequências numéricas: definição de monotonicidade, de limite e os teoremas de convergência (como o Teorema do Confronto e o Teorema da Convergência Monótona). Para resolver, vamos usar o fato de que 0 <= sin^2(n) <= 1 e as definições formais dessas propriedades.

Passo 2

Para ver se an é monótona (de crescente ou decrescente), a gente compara an+1 com an. Note que o denominador de an+1 é
(n+1) + sin^2(n+1) >= n+1 > n + sin^2(n)
Logo
an+1 = 1(n+1) + sin^2(n+1) < 1n + sin^2(n) = an
Isso mostra que a sequência é estritamente decrescente.

Passo 3

Para ver se an é limitada, lembramos que 0 <= sin^2(n) <= 1. Então
n <= n + sin^2(n) <= n+1
e daí
1n+1 <= an = 1n + sin^2(n) <= 1n
Como para todo n>=1 temos 0<1n+1 e 1n<=1, segue que
0 < an <= 1
Ou seja, a sequência é limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1.

Passo 4

Para ver se an converge, podemos usar o Teorema do Confronto: as sequências 1n+1 e 1n convergem para 0, e temos
1n+1 <= an <= 1n
Logo an também converge para 0. Alternativamente, como provamos que an é decrescente e limitada inferiormente, o Teorema da Convergência Monótona garante que an converge, e o cálculo do limite mostra que é 0.

Resposta

A sequência é monótona decrescente, é limitada (fica sempre entre 0 e 1) e converge com limite 0.

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