Nos itens abaixo, verifique se a sequência dada é monótona, se é limitada e se é convergente
(e)
(e)
Passo 1
O exercício pede para a gente verificar se a sequência
é monótona, se é limitada e se converge. O conteúdo aqui é teoria de sequências numéricas: definição de monotonicidade, de limite e os teoremas de convergência (como o Teorema do Confronto e o Teorema da Convergência Monótona). Para resolver, vamos usar o fato de que
e as definições formais dessas propriedades.
Passo 2
Para ver se
é monótona (de crescente ou decrescente), a gente compara
com
. Note que o denominador de
é
Logo
Isso mostra que a sequência é estritamente decrescente.
Passo 3
Para ver se
é limitada, lembramos que
. Então
e daí
Como para todo
temos
e
, segue que
Ou seja, a sequência é limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1.
Passo 4
Para ver se
converge, podemos usar o Teorema do Confronto: as sequências
e
convergem para 0, e temos
Logo
também converge para 0. Alternativamente, como provamos que
é decrescente e limitada inferiormente, o Teorema da Convergência Monótona garante que
converge, e o cálculo do limite mostra que é 0.
Resposta
A sequência é monótona decrescente, é limitada (fica sempre entre 0 e 1) e converge com limite 0.