Nos itens abaixo, verifique se a sequência dada é monótona, se é limitada e se é convergente
(f) an=2^n1+2^n

Passo 1

Resumo: temos a sequência an = 2^n1 + 2^n. A matéria envolvida é teoria de sequências numéricas: monotonicidade, limites e convergência. Vamos precisar calcular a diferença an+1 - an para ver se é crescente, checar se existe um limite que prenda a sequência (mostrando que 0 < an < 1), e depois usar o teorema de que toda sequência monótona e limitada é convergente, além de calcular o limite direto de an.

Passo 2

Monotonicidade: para ver se an é crescente calculamos a diferença entre termos consecutivos. Em bloco:
an+1 - an = 2^n+11 + 2^n+1 - 2^n1 + 2^n = 2^n+1(1 + 2^n) - 2^n(1 + 2^n+1)(1 + 2^n+1)(1 + 2^n) = 2^n(1 + 2^n+1)(1 + 2^n) > 0 Como o numerador 2^n é positivo e o denominador também, concluímos que an+1 - an > 0, logo a sequência é estritamente crescente.

Passo 3

Limites: vamos mostrar que an fica sempre entre 0 e 1. Como 2^n > 0, temos an = 2^n1 + 2^n > 0. Também 1 + 2^n > 2^n, então an < 2^n2^n = 1. Assim a sequência é limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1.

Passo 4

Convergência e limite: pelo teorema, toda sequência monótona e limitada converge. Para achar L = limntoinfty an fazemos:
limntoinfty an = limntoinfty 2^n1 + 2^n = limntoinfty 12^-n + 1 = 10 + 1 = 1

Resposta

A sequência an é estritamente crescente, limitada ( 0 < an < 1) e convergente, com limntoinfty an = 1.

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