Nos itens abaixo, verifique se a sequência dada é monótona, se é limitada e se é convergente
(f)
(f)
Passo 1
Resumo: temos a sequência
. A matéria envolvida é teoria de sequências numéricas: monotonicidade, limites e convergência. Vamos precisar calcular a diferença
para ver se é crescente, checar se existe um limite que prenda a sequência (mostrando que
), e depois usar o teorema de que toda sequência monótona e limitada é convergente, além de calcular o limite direto de
.
Passo 2
Monotonicidade: para ver se
é crescente calculamos a diferença entre termos consecutivos. Em bloco:
Passo 3
Limites: vamos mostrar que
fica sempre entre 0 e 1. Como
, temos
. Também
, então
. Assim a sequência é limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1.
Passo 4
Convergência e limite: pelo teorema, toda sequência monótona e limitada converge. Para achar
fazemos:
Resposta
A sequência
é estritamente crescente, limitada (
) e convergente, com
.